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2022年九年级数学上学期期中试卷1(新人教版)

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期中试卷(1)一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(3分)下面的图形中,是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.2.(3分)把方程x(x+2)=5(x﹣2)化成一般式,则a、b、c的值分别是(  )A.1,﹣3,10B.1,7,﹣10C.1,﹣5,12D.1,3,23.(3分)将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的函数表达式为(  )A.y=(x+1)2﹣13B.y=(x﹣5)2﹣3C.y=(x﹣5)2﹣13D.y=(x+1)2﹣34.(3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是(  )A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.(3分)方程(x﹣1)(x+1)=1﹣x的解是(  )A.x=1B.x=﹣1C.x=1或x=﹣2D.x=﹣1或x=﹣26.(3分)进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为(  )A.y=2a(x﹣1)B.y=2a(1﹣x)C.y=a(1﹣x2)D.y=a(1﹣x)27.(3分)若A(﹣4,y1),B(﹣3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是(  )A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y28.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>027\n④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3⑤当x<0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是(  )A.4个B.3个C.2个D.1个9.(3分)某市中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高度为3米,此时距喷水管的水平距离为米,在如图所示的坐标系中,这个喷泉的函数关系式是(  )A.y=﹣(x﹣)2+3B.y=﹣3(x+)2+3C.y=﹣12(x﹣)2+3D.y=﹣12(x+)2+310.(3分)把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,边BC与D′C′交于点O,则四边形ABOD′的周长是(  )A.B.6C.D. 二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.11.(3分)二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是(  ,  ).12.(3分)已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,则m=  .27\n13.(3分)如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置,已知∠AOB=45°,则∠AOD等于  度.14.(3分)若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=  .15.(3分)如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,求修建的路宽.设路宽为xm,可列方程  .16.(3分)已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,则2m2﹣4m=  .17.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点P(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为  .18.(3分)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的对应值如下表:x﹣3﹣2﹣101234y60﹣4﹣6﹣6﹣406则使y<0的x的取值范围为  . 三、解答题(一):本大题共5小题,共33分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.(8分)按要求解一元二次方程:(1)x2﹣10x+9=0(配方法)(2)x(x﹣2)+x﹣2=0(因式分解法)20.(8分)选择适当的方法解方程:(1)2(x﹣3)=3x(x﹣3).(2)2x2﹣3x+1=0.21.(6分)正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1),△27\nABC的顶点均在格点上,请在所给的直角坐标系中解答下列问题:(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1,再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2.(2)点B1的坐标为  ,点C2的坐标为  .22.(5分)已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5).(1)求该二次函数的表达式;(2)求该二次函数图象与y轴的交点坐标.23.(6分)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2? 四、解答题(二):本大题共5小题,共33分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.24.(6分)已知二次函数y=x2﹣2x﹣3.(1)用配方法将解析式化为y=(x﹣h)2+k的形式;(2)求这个函数图象与x轴的交点坐标.25.(6分)已知关于x的方程mx2+x+1=0,试按要求解答下列问题:(1)当该方程有一根为1时,试确定m的值;(2)当该方程有两个不相等的实数根时,试确定m的取值范围.27\n26.(7分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)当0<x<3时,求y的取值范围;(3)点P为抛物线上一点,若S△PAB=10,求出此时点P的坐标.27.(6分)阅读新知:移项且合并同类项之后,只含有偶次项的四次方程称作双二次方程.其一般形式为ax4+bx2+c=0(a≠0),一般通过换元法解之,具体解法是设x2=y,则原四次方程化为一元二次方程:ay2+by+c=0,解出y之后代入x2=y,从而求出x的值.例如解:4x4﹣8y2+3=0解:设x2=y,则原方程可化为:4y2﹣8y+3=0∵a=4,b=﹣8,c=3∴b2﹣4ac=﹣(﹣8)2﹣4×4×3=16>0∴y==∴y1=,∴y2=∴当y1=时,x2=∴x1=,x2=﹣;当y1=时,x2=∴x3=,x4=﹣小试牛刀:请你解双二次方程:x4﹣2x2﹣8=0归纳提高:思考以上解题方法,试判断双二次方程的根的情况,下列说法正确的是  (选出所有的正确答案)①当b2﹣4ac≥0时,原方程一定有实数根;②当b2﹣4ac<0时,原方程一定没有实数根;③当b2﹣4ac≥0,并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时,原方程有4个实数根,换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时,原方程有2个实数根;④27\n原方程无实数根时,一定有b2﹣4ac<0.28.(8分)如图,平面直角坐标系xOy中,直线AC分别交坐标轴于A,C(8,0)两点,AB∥x轴,B(6,4).(1)求过B,C两点的抛物线y=ax2+bx+4的表达式;(2)点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动,同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.当t为何值时,四边形BCPQ为平行四边形;(3)若点M为直线AC上方的抛物线上一动点,当点M运动到什么位置时,△AMC的面积最大?求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积. 27\n参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(3分)下面的图形中,是中心对称图形的是(  )A.B.C.D.【考点】中心对称图形.【分析】根据中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项错误;B、不是中心对称图形,故此选项错误;C、不是中心对称图形,故此选项错误;D、是中心对称图形,故此选项正确.故选:D.【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念.注意中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 2.(3分)把方程x(x+2)=5(x﹣2)化成一般式,则a、b、c的值分别是(  )A.1,﹣3,10B.1,7,﹣10C.1,﹣5,12D.1,3,2【考点】一元二次方程的一般形式.【专题】压轴题;推理填空题.【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项.【解答】解:由方程x(x+2)=5(x﹣2),得x2﹣3x+10=0,∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10;故选A.【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+27\nc=0(a,b,c是常数且a≠0),在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项. 3.(3分)将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的函数表达式为(  )A.y=(x+1)2﹣13B.y=(x﹣5)2﹣3C.y=(x﹣5)2﹣13D.y=(x+1)2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换.【专题】几何变换.【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为(2,﹣8),再利用点平移的规律得到把点(2,﹣8)平移后所得对应点的坐标为(﹣1,﹣3),然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式.【解答】解:因为y=x2﹣4x﹣4=(x﹣2)2﹣8,所以抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为(2,﹣8),把点(2,﹣8)向左平移3个单位,再向上平移5个单位所得对应点的坐标为(﹣1,﹣3),所以平移后的抛物线的函数表达式为y=(x+1)2﹣3.故选D.【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 4.(3分)关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是(  )A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根【考点】根的判别式.【分析】先计算判别式的值,然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况.【解答】解:∵△=a2+4>0,∴,方程有两个不相等的两个实数根.故选D.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△27\n=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根. 5.(3分)方程(x﹣1)(x+1)=1﹣x的解是(  )A.x=1B.x=﹣1C.x=1或x=﹣2D.x=﹣1或x=﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】先移项,再提公因式即可.【解答】解:(x﹣1)(x+1)+(x﹣1)=0,(x﹣1)(x+1+1)=0,(x+2)(x﹣1)=0x+2=0或x﹣1=0,x=﹣2或1,故选C.【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程,掌握提公因式的方法是解题的关键. 6.(3分)进入夏季后,某电器商场为减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为(  )A.y=2a(x﹣1)B.y=2a(1﹣x)C.y=a(1﹣x2)D.y=a(1﹣x)2【考点】根据实际问题列二次函数关系式.【分析】原价为a,第一次降价后的价格是a×(1﹣x),第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的,为a×(1﹣x)×(1﹣x)=a(1﹣x)2.【解答】解:由题意第二次降价后的价格是a(1﹣x)2.则函数解析式是y=a(1﹣x)2.故选D.【点评】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的. 7.(3分)若A(﹣4,y1),B(﹣3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是(  )A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征.27\n【专题】计算题.【分析】分别计算x=﹣4、﹣3、1时的函数值,然后比较大小即可.【解答】解:当x=﹣4时,y1=(﹣4)2+4×(﹣4)﹣5=﹣5;当x=﹣3时,y2=(﹣3)2+4×(﹣3)﹣5=﹣8;当x=﹣1时,y3=12+4×1﹣5=0,所以y2<y1<y3.故选B.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式. 8.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3⑤当x<0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是(  )A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】数形结合.【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=﹣2a,然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断;根据二次函数的性质对⑤进行判断.27\n【解答】解:∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2﹣4ac>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;∵x=﹣=1,即b=﹣2a,而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,∴a+2a+c=0,所以③错误;∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),∴当﹣1<x<3时,y>0,所以④错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.故选B.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 9.(3分)某市中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管喷水的最大高度为3米,此时距喷水管的水平距离为米,在如图所示的坐标系中,这个喷泉的函数关系式是(  )A.y=﹣(x﹣)2+3B.y=﹣3(x+)2+3C.y=﹣12(x﹣)2+3D.y=﹣12(x+)27\n2+3【考点】根据实际问题列二次函数关系式.【分析】待定系数法求解可得.【解答】解:根据题意设函数解析式为y=a(x﹣)2+3,将点(0,0)代入,得:a+3=0,解得:a=﹣12,∴函数解析式为y=﹣12(x﹣)2+3,故选:C.【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式,熟练掌握待定系数法是解题的关键. 10.(3分)把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,边BC与D′C′交于点O,则四边形ABOD′的周长是(  )A.B.6C.D.【考点】旋转的性质;正方形的性质.【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,利用勾股定理的知识求出BC′的长,再根据等腰直角三角形的性质,勾股定理可求BO,OD′,从而可求四边形ABOD′的周长.【解答】解:连接BC′,∵旋转角∠BAB′=45°,∠BAD′=45°,∴B在对角线AC′上,∵B′C′=AB′=3,在Rt△AB′C′中,AC′==3,∴BC′=3﹣3,在等腰Rt△OBC′中,OB=BC′=3﹣3,27\n在直角三角形OBC′中,OC=(3﹣3)=6﹣3,∴OD′=3﹣OC′=3﹣3,∴四边形ABOD′的周长是:2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6.故选:A.【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质.此题难度适中,注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键,注意旋转中的对应关系. 二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.11.(3分)二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是( 2 , ﹣7 ).【考点】二次函数的性质.【分析】先把y=x2﹣4x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y=(x﹣2)2﹣7,根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标.【解答】解:∵y=x2﹣4x﹣3=x2﹣4x+4﹣7=(x﹣2)2﹣7,∴二次函数y=x2﹣4x+7的顶点坐标为(2,﹣7).故答案为(2,﹣7).【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标,掌握二次函数的顶点式是解题的关键. 12.(3分)已知一元二次方程x2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,则m= 2 .【考点】根的判别式.【分析】首先根据原方程根的情况,利用根的判别式求出m的值即可.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×(m﹣1)=m2﹣4m+4=(m﹣2)2=0,∴m=2,故答案为:2.27\n【点评】此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根. 13.(3分)如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置,已知∠AOB=45°,则∠AOD等于 35 度.【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的意义,找到旋转角∠BOD;再根据角相互间的和差关系即可求出∠AOD的度数.【解答】解:∵△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置,∴∠BOD=80°,∵∠AOB=45°,则∠AOD=80°﹣45°=35°.故填35.【点评】本题考查了图形的旋转变化,学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转,旋转多少度,难度不大,但易错.注意∠AOD=∠BOD﹣∠AOB. 14.(3分)若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= 3 .【考点】解一元二次方程-配方法.【分析】此题实际上是利用配方法解方程.配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【解答】解:在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方,得x2+6x+32=7+32,27\n配方,得(x+3)2=16.所以,m=3.故答案为:3.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:(1)形如x2+px+q=0型:第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方. 15.(3分)如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米2,求修建的路宽.设路宽为xm,可列方程 (30﹣x)(20﹣x)=551 .【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【专题】应用题.【分析】可以用平移的知识假设把路移动边上,那么余下耕地部分的长和宽可表示出来,设路宽为xm,根据面积可列出方程.【解答】解:设路宽为xm,那么余下耕地的长为(30﹣x),宽为(20﹣x),根据面积可列出方程.(30﹣x)(20﹣x)=551.故答案为:(30﹣x)(20﹣x)=551.【点评】本题考查理解题意的能力,关键是余下耕地的长和宽表示出来,然后根据面积可列出方程. 16.(3分)已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,则2m2﹣4m= 6 .【考点】一元二次方程的解.【专题】推理填空题.27\n【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,通过变形可以得到2m2﹣4m值,本题得以解决.【解答】解:∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,∴m2﹣2m﹣3=0,∴m2﹣2m=3,∴2m2﹣4m=6,故答案为:6.【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件. 17.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点P(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 (﹣1,0) .【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】根据抛物线的对称性和P(3,0)为x轴上的点,即可求出另一个点的交点坐标.【解答】解:由于函数对称轴为x=1,而P(3,0)位于x轴上,则设与x轴另一交点坐标为(m,0),根据题意得:=1,解得m=﹣1,则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),故答案是:(﹣1,0).【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,要知道,抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称. 18.(3分)二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的对应值如下表:x﹣3﹣2﹣101234y60﹣4﹣6﹣6﹣406则使y<0的x的取值范围为 ﹣2<x<3 .【考点】二次函数的图象.27\n【专题】压轴题;图表型.【分析】由表中数据可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(﹣2,0)、(3,0),然后画出草图即可确定y<0的是x的取值范围.【解答】解:由表中数据可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为(﹣2,0)、(3,0),画出草图,可知使y<0的x的取值范围为﹣2<x<3.【点评】观察二次函数的对应值的表格,关键是寻找对称点,顶点坐标及对称轴,利用对称性解答. 三、解答题(一):本大题共5小题,共33分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.(8分)按要求解一元二次方程:(1)x2﹣10x+9=0(配方法)(2)x(x﹣2)+x﹣2=0(因式分解法)【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.【分析】(1)首先将常数项移到等号的右侧,再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方,即可将等号左边的代数式写成完全平方形式.(2)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.【解答】解:(1)x2﹣10x+9=0(配方法)(x﹣5)2=16,∴x﹣5=4或x﹣5=﹣4,∴x1=9或x2=1.(2)x(x﹣2)+x﹣2=0(因式分解法)(x﹣2)(x+1)=0,27\n∴x﹣2=0或x+1=0,∴x1=2或x2=﹣1.【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法,熟练掌握因式分解的方法和配方的方法是解本题的关键. 20.(8分)选择适当的方法解方程:(1)2(x﹣3)=3x(x﹣3).(2)2x2﹣3x+1=0.【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】(1)方程移项后,左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.(2)方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.【解答】解:(1)2(x﹣3)=3x(x﹣3).(x﹣3)(3x﹣2)=0,∴x﹣3=0或3x﹣2=0,∴x1=3或x2=.(2)2x2﹣3x+1=0.(x﹣1)(2x﹣1)=0,∴x﹣1=0或2x﹣1=0,∴x1=1或x2=.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:把一元二次方程变形为一般式,再把方程左边进行因式分解,然后把方程转化为两个一元一次方程,解这两个一元一次方程得到原方程的解. 21.(6分)正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1),△ABC的顶点均在格点上,请在所给的直角坐标系中解答下列问题:(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1,再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2.27\n(2)点B1的坐标为 (﹣2,﹣3) ,点C2的坐标为 (3,1) .【考点】作图-旋转变换.【分析】(1)直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)直接利用(1)中所画图形,进而得出答案.【解答】解:(1)如图所示△AB1C1,△A1B2C2,即为所求;(2)如图所示:B1(﹣2,﹣3),C2(3,1);故答案为:(﹣2,﹣3),(3,1).【点评】此题主要考查了旋转变换,正确得出对应点位置是解题关键. 22.(5分)已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5).(1)求该二次函数的表达式;(2)求该二次函数图象与y轴的交点坐标.【考点】待定系数法求二次函数解析式.【分析】(1)根据顶点A(﹣1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0),然后代入B的坐标求得a的值,从而求得函数的解析式;27\n(2)在二次函数的解析式中令x=0,即可求得与y轴的交点的纵坐标,从而求得与y轴的交点坐标.【解答】解:(1)由顶点A(﹣1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0).∵二次函数的图象过点B(2,﹣5),∴点B(2,﹣5)满足二次函数关系式,∴﹣5=a(2+1)2+4,解得a=﹣1.∴二次函数的关系式是y=﹣(x+1)2+4;(2)令x=0,则y=﹣(0+1)2+4=3,∴图象与y轴的交点坐标为(0,3).【点评】此题考查了待定系数法确定二次函数解析式,抛物线与y轴的交点,以及坐标与图形性质,灵活运用待定系数法是解本题的关键. 23.(6分)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2?【考点】一元二次方程的应用.【专题】几何图形问题.【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25﹣2x+1)m.根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了.【解答】解:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25﹣2x+1)m,由题意得x(25﹣2x+1)=80,化简,得x2﹣13x+40=0,解得:x1=5,x2=8,当x=5时,26﹣2x=16>12(舍去),当x=8时,26﹣2x=10<12,答:所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.27\n【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用,解答时寻找题目的等量关系是关键. 四、解答题(二):本大题共5小题,共33分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.24.(6分)已知二次函数y=x2﹣2x﹣3.(1)用配方法将解析式化为y=(x﹣h)2+k的形式;(2)求这个函数图象与x轴的交点坐标.【考点】二次函数的三种形式.【分析】(1)利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可;(2)令y=0,得到关于x的一元二次方程,解方程即可.【解答】解:(1)y=(x2﹣2x+1)﹣4=(x﹣1)2﹣4;(2)令y=0,得x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,∴这条抛物线与x轴的交点坐标为(3,0),(﹣1,0).【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标,正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键. 25.(6分)已知关于x的方程mx2+x+1=0,试按要求解答下列问题:(1)当该方程有一根为1时,试确定m的值;(2)当该方程有两个不相等的实数根时,试确定m的取值范围.【考点】根的判别式;一元二次方程的解.【专题】计算题.【分析】(1)将x=1代入方程得到关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值;(2)由方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范围.【解答】解:(1)将x=1代入方程得:m+1+1=0,解得:m=﹣2;(2)由方程有两个不相等的实数根,得到△=b2﹣4ac=1﹣4m>0,且m≠0,27\n解得:m<且m≠0.【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0,方程没有实数根. 26.(7分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)当0<x<3时,求y的取值范围;(3)点P为抛物线上一点,若S△PAB=10,求出此时点P的坐标.【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.【分析】(1)由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标;(2)结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论;(3)设P(x,y),根据三角形的面积公式以及S△PAB=10,即可算出y的值,代入抛物线解析式即可得出点P的坐标.【解答】解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)分别代入y=x2+bx+c中,得:,解得:,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴顶点坐标为(1,﹣4).(2)由图可得当0<x<3时,﹣4≤y<0.(3)∵A(﹣1,0)、B(3,0),∴AB=4.27\n设P(x,y),则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10,∴|y|=5,∴y=±5.①当y=5时,x2﹣2x﹣3=5,解得:x1=﹣2,x2=4,此时P点坐标为(﹣2,5)或(4,5);②当y=﹣5时,x2﹣2x﹣3=﹣5,方程无解;综上所述,P点坐标为(﹣2,5)或(4,5).【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)根据函数图象解不等式;(3)找出关于y的方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键. 27.(6分)阅读新知:移项且合并同类项之后,只含有偶次项的四次方程称作双二次方程.其一般形式为ax4+bx2+c=0(a≠0),一般通过换元法解之,具体解法是设x2=y,则原四次方程化为一元二次方程:ay2+by+c=0,解出y之后代入x2=y,从而求出x的值.例如解:4x4﹣8y2+3=0解:设x2=y,则原方程可化为:4y2﹣8y+3=0∵a=4,b=﹣8,c=3∴b2﹣4ac=﹣(﹣8)2﹣4×4×3=16>0∴y==∴y1=,∴y2=∴当y1=时,x2=∴x1=,x2=﹣;当y1=时,x2=∴x3=,x4=﹣小试牛刀:请你解双二次方程:x4﹣2x2﹣8=0归纳提高:思考以上解题方法,试判断双二次方程的根的情况,下列说法正确的是 ①②③④ 27\n(选出所有的正确答案)①当b2﹣4ac≥0时,原方程一定有实数根;②当b2﹣4ac<0时,原方程一定没有实数根;③当b2﹣4ac≥0,并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时,原方程有4个实数根,换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时,原方程有2个实数根;④原方程无实数根时,一定有b2﹣4ac<0.【考点】换元法解一元二次方程.【专题】阅读型.【分析】先设y=x2,则原方程变形为y2﹣2y﹣8=0,运用因式分解法解得y1=﹣2,y2=4,再把y=﹣2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程,然后解两个一元二次方程,最后确定原方程的解.根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④.【解答】解:x4﹣2x2﹣8=0设y=x2,则原方程变为:y2﹣2y﹣8=0.分解因式,得(y+2)(y﹣4)=0,解得,y1=﹣2,y2=4,当y=﹣2时,x2=﹣2,x2+2=0,△=0﹣4×2<0,此方程无实数解;当y=4时,x2=4,解得x1=﹣2,x2=2,所以原方程的解为x1=﹣2,x2=2.根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④;故答案为①②③④.【点评】本题考查了换元法解一元二次方程:当所给方程是双二次方程时,可考虑用换元法降次求解. 28.(8分)如图,平面直角坐标系xOy中,直线AC分别交坐标轴于A,C(8,0)两点,AB∥x轴,B(6,4).(1)求过B,C两点的抛物线y=ax2+bx+4的表达式;(2)点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动,同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.当t为何值时,四边形BCPQ为平行四边形;(3)若点M为直线AC上方的抛物线上一动点,当点M运动到什么位置时,△27\nAMC的面积最大?求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)用待定系数法就可求出过B,C三点的抛物线的表达式.(2)若四边形BCPQ为平行四边形,则有BQ=CP,从而建立关于t的方程,就可求出t的值.(3)过点M作x轴的垂线,交AC于点N,设点M的横坐标为m,由S△AMC=S△AMN+S△CMN=MN•OC可以得到S△AMC=﹣(m﹣4)2+16.然后利用二次函数的最值性就可解决问题【解答】解:(1)如图1,∵过B(6,4),C(8,0)两点的抛物线y=ax2+bx+4.∴,解得.∴过B、C三点的抛物线的表达式为y=﹣x2+x+4(2)如图2,由题可得:BQ=6﹣t,CP=t.当BQ∥CP且BQ=CP时,四边形BCPQ为平行四边形.∴6﹣t=t.解得:t=3.(3)过点M作x轴的垂线,交AC于点N,如图3,设直线AC的解析式为y=kx+4,则有8k+4=0.解得:k=﹣.27\n∴直线AC的解析式为y=﹣x+4.设点M的横坐标为m,则有yM=﹣m2+m+4,yN=﹣m+4.∴MN=yM﹣yN=(﹣m2+m+4)﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m.∴S△AMC=S△AMN+S△CMN=MN•OC=×(﹣m2+2m)×8=﹣m2+8m=﹣(m﹣4)2+16.(0<m<8)∵﹣1<0,∴当m=4时,S△AMC取到最大值,最大值为16,此时点M的坐标为(4,6).27\n【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及一次函数的解析式、二次函数的最值、平行四边形的性质等知识,三角形的面积,有一定的综合性,解本题的关键是掌握坐标系中,求三角形的面积的方法.27 查看更多

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