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第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测评一、选择题（每小题3分，共30分）1.）已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A.11B.5C.2D.12.等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（）A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm3.命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等.其中真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（ ）A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定5.下列命题中，是假命题的是（）A.对顶角相等B.同旁内角互补C.两点确定一条直线D.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等6.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1=50°，∠2=40°B．∠1=50°，∠2=50°C．∠1=∠2=45°D．∠1=40°，∠2=40°7.不一定在三角形内部的线段是（）第8题图A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上皆不对8.如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A.180°B.360°C.540°D.720°9.下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是（ ）A．基本事实和定理都是真命题B．基本事实就是定理，定理也是基本事实C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明10.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于（）A.45°B.60°C.75°D.90°二、填空题（每小题3分，共21分）第12题图11.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，那么∠ACE的大小是＿＿＿＿＿度．第11题图12.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=度．13.“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的条件是，结论是.-6-\n14.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．15.如图所示，AB=29，BC=19，AD=20，CD=16，若AC=x，则x的取值范围为.BACD第15题图第16题图16.如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=________.17.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是，它是一个命题.三、解答题（共49分）18.（6分）下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？（2）垂线段最短，对吗？（3）等角的补角相等．（4）两条直线相交只有一个交点．（5）同旁内角互补．（6）邻补角的角平分线互相垂直．19.（6分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．第19题图20.（8分）如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P.（1）当∠A=70°时，求∠BPC的度数；-6-\n第20题图（2）当∠A=112°时，求∠BPC的度数；（3）当∠A=时，求∠BPC的度数.21.（9分）如图所示，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．（1）当汽车运动到点D时，刚好BD=CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE=∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？第22题图22.（8分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．-6-\n第23题图23.（12分）规定，满足（1）各边互不相等且均为整数，（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，这样的三角形称为比高三角形，其中k叫做比高系数．根据规定解答下列问题：（1）求周长为13的比高系数k的值；（2）写出一个只有4个比高系数的比高三角形的周长.参考答案1.B解析：根据三角形的三边关系，得64＜AC＜6+4，即2＜AC＜10．所以边AC的长可能是5．2.C解析：因为三角形中任何两边的和大于第三边，所以腰长只能是10cm，所以此三角形的周长是10+10+5=25（cm）.故选C.3.C解析：①②④是真命题；对于③，只有两条平行直线被第三条直线截得的同旁内角才互补；对于⑤，直线不能测量长度，所以也不存在两条直线相等的说法，故选C.4.C解析：因为在△ABC中，∠ABC+∠ACB<180°，所以所以∠BOC>90°.故选C.5.B解析：选项B错误，应为两直线平行，同旁内角互补；其余选项都正确.6.C解析：当∠1=∠2=45°，∠1+∠2也等于90°.故选C.7.C解析：因为三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以答案选C．8.B解析：三角形的外角和为360°.9.B解析：根据基本事实和定理的定义，可知A，C，D是正确的，B是错误的．故选B．10.C解析：∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，所以∠C＝180°×＝180°＝75°.即∠C等于75°.11.60解析：∵是△ABC的一个外角，∴，∵CE平分∠ACD，∴.12.270解析：根据题意可知∠1+∠2=180°+180°-90°=360°-90°=270°.-6-\n13.两条直线被第三条直线所截同位角相等14.120°或20°解析：设两个角分别是，4，①当是底角时，根据三角形的内角和定理，得=180°，解得=30°，4=120°，即底角为30°，顶角为120°；②当是顶角时，则=180°，解得=20°，从而得到顶角为20°，底角为80°.所以该三角形的顶角为120°或20°．15.10＜＜36解析：在△ABC中，AB-BC<AC<AB+BC，所以10<<48；在△ADC中，AD-DC<AC<AD+DC，所以4<<36.所以10<<36.16.110°解析：因为∠A=40°，∠ABC=∠ACB，所以∠ABC=∠ACB=(180°-40°)=70°.又因为∠1=∠2，∠1+∠PCB=70°，所以∠2+∠PCB=70°，所以∠BPC=180°-70°=110°.17.有两个角是锐角的三角形是直角三角形假解析：“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是“有两个角是锐角的三角形是直角三角形”，假设三角形一个角是30°，一个角是45°，有两个角是锐角，但这个三角形不是直角三角形．故是假命题．18.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面．再将题设与结论互换写出它的逆命题.解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，真命题.（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，真命题；逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交，真命题.（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，假命题；逆命题：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，假命题.（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，真命题；逆命题：如果两条射线垂直，那么这两条射线是邻补角的角平分线，假命题.19.分析：因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．解：设AB=AC=2，则AD=CD=.（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2=30，∴=10，2=20，BC=24－10=14，三边分别为20cm，20cm，14cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，∴=8，，BC=30－8=22，-6-\n三边分别为16cm，16cm，22cm．20.解：（1）∵BP和CP分别是∠Ｂ与∠Ｃ的平分线，∴ ∠１＝∠２，∠３＝∠４.∴∠2+∠4=（180°－∠A）=90°－∠A，∴∠BPC=90°+∠A.∴当∠A=70°时，∠BPC=90°+35°=125°.（2）当∠A=112°时，∠BPC=90°+56°=146°.（3）当∠A=时，∠BPC=90°+.21.分析：（1）由于BD=CD，则点D是BC的中点，AD是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；（2）由于∠BAE=∠CAE，所以AE是三角形的角平分线；（3）由于∠AFB=∠AFC=90°，则AF是三角形的高线．解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，△ABC中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．（2）AE是△ABC中∠BAC的平分线，△ABC中角平分线有三条．（3）AF是△ABC中BC边上的高线，△ABC中有三条高线．22.分析：灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB．证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义），∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠ACD（等量代换），∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.∵EF⊥AB（已知），∴∠AEF=90°（垂直定义），∴∠ADC=90°（等量代换）.∴CD⊥AB（垂直定义）．23.分析：（1）根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析；（2）根据比高三角形的知识点结合三角形三边关系的知识点，进行判断只有四个比高系数的三角形的周长.解：（1）根据定义和三角形的三边关系，知此三角形的三边是2，5，6或3，4，6，则k=3或2．（2）如周长为37的三角形，只有四个比高系数，当比高系数为2时，这个三角形三边分别为9，10，18，当比高系数为3时，这个三角形三边分别为6，13，18，当比高系数为6时，这个三角形三边长分别为3，16，18，当比高系数为9时，这个三角形三边分别为2，17，18．-6-
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