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2022八年级数学上册第一章勾股定理测试卷3(北师大版)

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第一章勾股定理一、选择题(每题4分,共28分)1.(2018•滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为(  )A.5B.6C.7D.82.(4分)(2017•兴安盟)下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是(  )A.6,8,14B.6,8,12C.6,8,10D.6,8,83.(4分)如图,正方形ABCD的边长为1,则正方形ACEF的面积为(  )A.2B.3C.4D.54.(4分)如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是(  )A.12米B.13米C.14米D.15米5.(4分)满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(  )A.a:b:c=3:4:5B.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a2:b2:c2=1:2:3D.a2:b2:c2=3:4:56.(4分)若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为(  )A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm7.(4分)如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为(  )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对二、填空:(每空4分,共计28分)8.(4分)已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方为  .19\n9.(4分)求如图中直角三角形中未知的长度:b=  ,c=  .10.(4分)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为  cm2.11.(4分)小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中,他能放进去吗?答:  (填“能”、或“不能”)12.(4分)(2018•襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为  .13.(4分)(2018•福建)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=  .14.(4分)(2018•黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为  cm(杯壁厚度不计).19\n三、解答题:(每题11分,共计44分)15.(11分)一棵树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离树根底部12米处,求树折断之前的高度?(自己画图并解答)16.(11分)小东与哥哥同时从家中出发,小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去,哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去,半小时后,小东距哥哥多远?17.(11分)如图所示,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°;(1)求BD的长;(2)求四边形ABCD的面积.18.(11分)如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AB=6cm,BC=8cm,现将直角边BC沿直线BD折叠,使点C落在点E处,求三角形BDF的面积是多少?19\n四、附加题19.如图所示的一块地,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.20.如图,△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.(1)如图1,试说明BE2+CF2=EF2;(2)如图2,若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.19\n参考答案一、选择题(每题4分,共28分)1.(2018•滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为(  )A.5B.6C.7D.8【分析】直接根据勾股定理求解即可.【解答】解:∵在直角三角形中,勾为3,股为4,∴弦为=5.故选:A.【点评】本题考查了勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.2.(4分)(2017•兴安盟)下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是(  )A.6,8,14B.6,8,12C.6,8,10D.6,8,8【考点】KS:勾股定理的逆定理.【专题】55:几何图形.【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度,然后与较长的边进行比较作出判断即可.【解答】解:A、∵6+8=14,∴不能组成三角形;B、=10<12,6+8>12,∴不能组成锐角三角形;C、∵=10是直角三角形,∴不能组成锐角三角形;D、∵=10>8,6+8>8,∴能组成锐角三角形.故选:D.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键.3.(4分)如图,正方形ABCD的边长为1,则正方形ACEF的面积为(  )A.2B.3C.4D.5【考点】算术平方根.19\n【分析】根据勾股定理,可得AC的长,再根据乘方运算,可得答案.【解答】解:由勾股定理,得AC=,乘方,得()2=2,故选:A.【点评】本题考查了算术平方根,先求出AC的长,再求出正方形的面积. 4.(4分)如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是(  )A.12米B.13米C.14米D.15米【考点】勾股定理的应用.【专题】应用题.【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形,再根据勾股定理解答即可.【解答】解:如图所示,AB=13米,BC=5米,根据勾股定理AC===12米.故选A.【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用,比较简单. 5.(4分)满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(  )A.a:b:c=3:4:5B.∠A:∠B:∠C=1:2:3C.a2:b2:c2=1:2:3D.a2:b2:c2=3:4:5【考点】勾股定理的逆定理;三角形内角和定理.【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形,D不是直角三角形;由三角形内角和定理得出B是直角三角形;即可得出结果.【解答】解:∵a:b:c=3:4:5,32+42=52,∴这个三角形是直角三角形,A是直角三角形;19\n∵∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴∠C=90°,B是直角三角形;∵a2:b2:c2=1:2:3,∴a2+b2=c2,∴三角形是直角三角形,C是直角三角形;∵a2:b2:c2=3:4:5,∴a2+b2≠c2,∴三角形不是直角三角形;故选:D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理;熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理,通过计算得出结果是解决问题的关键. 6.(4分)若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为(  )A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm【考点】勾股定理;等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD,然后在RT△ABD中,可根据勾股定理进行求解.【解答】解:如图:由题意得:AB=AC=10cm,BC=16cm,作AD⊥BC于点D,则有DB=BC=8cm,在Rt△ABD中,AD==6cm.故选D.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识,关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边,及利用勾股定理直角三角形的边长. 19\n7.(4分)如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为(  )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对【考点】勾股定理的逆定理;勾股定理.【专题】网格型.【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长,再利用勾股定理的逆定理进行判定,从而不难得到其形状.【解答】解:∵正方形小方格边长为1,∴BC==2,AC==,AB==,在△ABC中,∵BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.故选:A.【点评】考查了勾股定理的逆定理,解答此题要用到勾股定理的逆定理:已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2,则三角形ABC是直角三角形. 二、填空:(每空4分,共计28分)8.(4分)已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方为 7或25 .【考点】勾股定理.【分析】已知的这两条边可以为直角边,也可以是一条直角边一条斜边,从而分两种情况进行讨论解答.19\n【解答】解:分两种情况:当3、4都为直角边时,第三边长的平方=32+42=25;当3为直角边,4为斜边时,第三边长的平方=42﹣32=7.故答案为:7或25.【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键. 9.(4分)求如图中直角三角形中未知的长度:b= 12 ,c= 10 .【考点】勾股定理.【分析】根据勾股定理进行计算即可.【解答】解:b==12;c==10,故答案为:12;10.【点评】本题考查的是勾股定理的应用,在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方. 10.(4分)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 49 cm2.【考点】勾股定理.【分析】19\n根据正方形的面积公式,连续运用勾股定理,发现:四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.【解答】解:由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积,故正方形A,B,C,D的面积之和=49cm2.故答案为:49cm2.【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换. 11.(4分)小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中,他能放进去吗?答: 能 (填“能”、或“不能”)【考点】勾股定理的应用.【分析】能,在长方体的盒子中,一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大,根据木箱的长,宽,高可求出最大距离,然后和木棒的长度进行比较即可.【解答】解:能,理由如下:可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm,根据题意,得x2=502+402+302=5000,702=4900,因为4900<5000,所以能放进去.故答案为能.【点评】本题考查了勾股定理的应用,解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度. 12.(4分)(2018•襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 2或2 .【考点】KQ:勾股定理.【专题】552:三角形.【分析】分两种情况:①当△ABC是锐角三角形,如图1,②当△ABC是钝角三角形,如图2,分别根据勾股定理计算AC和BC即可.【解答】解:分两种情况:①当△ABC是锐角三角形,如图1,19\n∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∵CD=,AD=1,∴AC=2,∵AB=2AC,∴AB=4,∴BD=4﹣1=3,∴BC===2;②当△ABC是钝角三角形,如图2,同理得:AC=2,AB=4,∴BC===2;综上所述,BC的长为2或2.故答案为:2或2.【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用,在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长,要熟练掌握.13.(4分)(2018•福建)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD= ﹣1 .19\n【考点】勾股定理.【专题】11:计算题.【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2,BF=AF=1,再利用勾股定理求出DF,即可得出结论.【解答】解:如图,过点A作AF⊥BC于F,在Rt△ABC中,∠B=45°,∴BC=AB=2,BF=AF=AB=1,∵两个同样大小的含45°角的三角尺,∴AD=BC=2,在Rt△ADF中,根据勾股定理得,DF==∴CD=BF+DF﹣BC=1+﹣2=﹣1,故答案为:﹣1.【点评】此题主要考查了勾股定理,等腰直角三角形的性质,正确作出辅助线是解本题的关键.14.(4分)(2018•黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 20 cm(杯壁厚度不计).19\n【考点】KV:平面展开﹣最短路径问题.【专题】27:图表型.【分析】将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.【解答】解:如图:将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B===20(cm).故答案为20.【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.三、解答题:(每题11分,共计44分)15.(11分)一棵树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离树根底部12米处,求树折断之前的高度?(自己画图并解答)【考点】勾股定理的应用.【分析】根据勾股定理,计算树的折断部分是15米,则折断前树的高度是15+9=24米.【解答】解:如图所示:因为AB=9米,AC=12米,根据勾股定理得BC==15米,于是折断前树的高度是15+9=24米.【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键. 19\n16.(11分)小东与哥哥同时从家中出发,小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去,哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去,半小时后,小东距哥哥多远?【考点】勾股定理的应用.【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离,根据勾股定理计算即可.【解答】解:由题意得,AC=6×=3km,BC=8×=4km,∠ACB=90°,则AB==5km.【点评】本题考查的是勾股定理的应用,正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键. 17.(11分)如图所示,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°;(1)求BD的长;(2)求四边形ABCD的面积.【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理.【分析】(1)在Rt△ABD中,利用勾股定理可求出BD的长度;(2)利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形,根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC,即可得出答案.【解答】解:(1)∵∠A=90°,∴△ABD为直角三角形,19\n则BD2=AB2+AD2=25,解得:BD=5.(2)∵BC=13cm,CD=12cm,BD=5cm,∴BD2+CD2=BC2,∴BD⊥CD,故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36.【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理,在求不规则图形的面积时,我们可以利用分解法,将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和. 18.(11分)如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AB=6cm,BC=8cm,现将直角边BC沿直线BD折叠,使点C落在点E处,求三角形BDF的面积是多少?【考点】翻折变换(折叠问题).【专题】应用题;操作型.【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等,进而得到对应边相等,对应角相等,再由两直线平行内错角相等,等量代换及等角对等边得到FD=FB,设FD=FB=xcm,则AF=(8﹣x)cm,在直角三角形AFB中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出FD的长,进而求出三角形BDF面积.【解答】解:由折叠可得:△BDC≌△BDE,∴∠CBD=∠EBD,BC=BE=8cm,ED=DC=AB=6cm,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴∠ADB=∠EBD,∴FD=FB,设FD=FB=xcm,则有AF=AD﹣FD=(8﹣x)cm,19\n在Rt△ABF中,根据勾股定理得:x2=(8﹣x)2+62,解得:x=,即FD=cm,则S△BDF=FD•AB=cm2.【点评】此题考查了翻折变换(折叠问题),涉及的知识有:折叠的性质,全等三角形的性质,平行线的性质,等腰三角形的判定,以及勾股定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 四、附加题19.如图所示的一块地,AD=12m,CD=9m,∠ADC=90°,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.【考点】勾股定理的应用;三角形的面积;勾股定理的逆定理.【专题】应用题.【分析】连接AC,运用勾股定理逆定理可证△ACD,△ABC为直角三角形,可求出两直角三角形的面积,此块地的面积为两个直角三角形的面积差.【解答】解:连接AC,则在Rt△ADC中,AC2=CD2+AD2=122+92=225,∴AC=15,在△ABC中,AB2=1521,AC2+BC2=152+362=1521,∴AB2=AC2+BC2,∴∠ACB=90°,∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216.答:这块地的面积是216平方米.19\n【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形,可使复杂的求解过程变得简单. 20.如图,△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF.(1)如图1,试说明BE2+CF2=EF2;(2)如图2,若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积.【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.【分析】(1)延长ED至点G,使得EG=DE,连接FG,CG,易证EF=FG和△BDE≌△CDG,可得BE=CG,∠DCG=∠DBE,即可求得∠FCG=90°,根据勾股定理即可解题;(2)连接AD,易证∠ADE=∠CDF,即可证明△ADE≌△CDF,可得AE=CF,BE=AF,S四边形AEDF=S△ABC,再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF,即可解题.【解答】(1)证明:延长ED至点G,使得DG=DE,连接FG,CG,∵DE=DG,DF⊥DE,∴DF垂直平分DE,19\n∴EF=FG,∵D是BC中点,∴BD=CD,在△BDE和△CDG中,,∴△BDE≌△CDG(SAS),∴BE=CG,∠DCG=∠DBE,∵∠ACB+∠DBE=90°,∴∠ACB+∠DCG=90°,即∠FCG=90°,∵CG2+CF2=FG2,∴BE2+CF2=EF2;(2)解:连接AD,∵AB=AC,D是BC中点,∴∠BAD=∠C=45°,AD=BD=CD,∵∠ADE+∠ADF=90°,∠ADF+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠CDF,在△ADE和△CDF中,,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF,BE=AF,AB=AC=17,∴S四边形AEDF=S△ABC,∴S△AEF=×5×12=30,19\n∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=.【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键.19 查看更多

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