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人教版数学九年级上册22.1.1二次函数导入新知如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？素养目标2.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是二次函数.探究新知知识点1二次函数的概念问题1正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2①.探究新知问题2多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？如果多边形有n条边,那么它有n个顶点,从一个顶(n-3)点出发,可以作条对角线.1多边形的对角线总数d=n(n-3).MN213即d=n2-n②.22②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.探究新知问题3某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件,一年后的产量是20(1+x)件,再经过一年后的产量是20(1+x)2件,即两年后的产量为y=20（1+x）2.即y=20x2+40x+20③.③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.探究新知【思考】函数①②③有什么共同点?y=6x2①13d=n2-n②22y=20x2+40x+20③学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.探究新知【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．这些函数有什函数解析式自变量函数么共同点？y=6x2xyndxy这些函数自变量的最高次项都是二次的！探究新知二次函数的定义一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.注意（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.（2）a,b,c为常数，且a≠0.（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.（4）x的取值范围是任意实数.探究新知二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.二次项系数常数项一次项系自变数量探究新知二次函数的形式二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式:当b＝0时，y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项）当c＝0时，y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项）当b＝0，c＝0时，y＝ax2.（只含有二次项）探究新知素养考点1二次函数的识别例1下列函数中是二次函数的有①⑤⑥.22①√y=2x2×②y2xx(12x)a=02212×③yx(1x)1×④y2xx最高次数是442xx⑤y=x(x1)⑥y=x2√√x21二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）探究新知方法点拨运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤：（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；（3）判断自变量的最高次数是否是2；（4）判断二次项系数是否不等于0.巩固练习下列函数中,哪些是二次函数？1(1)y=3(x-1)²+（1是）(2)yx（否）右边不是整式x1(3)s=3-2t²（是）(4)y2（否）右边不是整式xx(5)y=(x+3)²-x（²否）(6)v=10πr²（是）整理后，自变量的最高次数是1自变量的最(7)y=x²+x³+25（否）(8)y=2²+2x（否）高次数是1自变量的最高次数是3探究新知素养考点2利用二次函数的定义求字母的值例2关于x的函数y=（m+1）xm2-m是二次函数,求m的值.解:由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0.解得m=2.因此当m=2时，函数为二次函数.注意二次函数的二次项系数不能为零.巩固练习a1y(a1)x是二次函数，求常数a的值.解：根据二次函数的定义，得a12，a10.解得a=-1.探究新知知识点2根据实际问题确定二次函数解析式根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言；②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式；③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.探究新知素养考点建立二次函数的模型例一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m时，计算菜园的面积.解：由题意得：y=x(40-2x).xmym2xm即y=-2x2+40x.(0<x<20)当x＝12m时，菜园的面积为（40-2x）my=-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.巩固练习做一做:①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；y=πx2(x>0)②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；y=2(1+x)2(x>0)③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.S=4πr2(r>0)说一说以上二次函数解析式的各项系数.连接中考1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（C）2A.y=3x-1B.y=ax+bx+c1C.s=2t2-2t+1D.y=x2+2x连接中考2.已知函数y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？2解：（1）根据一次函数的定义，得m﹣m=0，解得m=0或m=1，又∵m﹣1≠0即m≠1,∴当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，2得：m﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1,∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.课堂检测基础巩固题1.下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为(C)A.y=ax2+bx+cB.y2=x2-4x+1C.y=x2D.y=22+x+12.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是(C)A.m,n是常数,且m≠0B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠nD.m,n为任何实数课堂检测3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s与半径r之间的关系式.S=4πr2.4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.1m=n(n-1),211即m=n2-n.22课堂检测能力提升题当m为何值时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.2m5m62,解：由二次函数的定义得m40,解得m=1.∴当m=1时，函数y=(m-4)xm²-5m+6+mx是关于x的二次函数.课堂小结探索二次关总结二次系式共同点函数概念问题导入，列关系式二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）二次函数的判别:确定二次函数解①含未知数的代数式为整式；析式及自变量的取值范围②未知数最高次数为2；③二次项系数不为0.课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!</x<20)当x＝12m时，菜园的面积为（40-2x）my=-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.巩固练习做一做:①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式；y=πx2(x>
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