人教版九年级数学上册《22-3 实际问题与二次函数（第3课时）》教学课件PPT初三优秀公开课

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2021-11-24 16:00:30
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22.3实际问题与二次函数（第3课时）人教版数学九年级上册导入新知xxx如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.yyy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO导入新知3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．素养目标如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？探究新知建立平面直角坐标系解答抛物线形问题知识点探究新知【合作探究】你能想出办法来吗？建立函数模型.这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数.怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为yax2.探究新知-2-42-2-1如何确定a是多少？离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．2，其中｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶2因此，y1x已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出2ag22,2a1.解得探究新知xAyo12水面宽3m时,x3,1932因此拱顶离水面高1.125m.从而y2281.125,由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：2.45≤x≤2.45现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？探究新知实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解探究新知建立二次函数模型解决实际问题建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？素养考点1建立坐标系解答生活中的抛物线形问题例1图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？探究新知l=4m2ml=4m2m解法一:如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2.当拱桥离水面2m时,水面宽4m.即抛物线过点(2,-2),∴-2=a×22,∴a=-0.5.∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有-3=-0.5x²,解得x=±6，这时水面宽度为26m,因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(26-4)m.探究新知l=4m2m因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x²+2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:解法二:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.此时,抛物线的顶点为(0,2)因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax²+2.当拱桥离水面2m时,水面宽4m,即:抛物线过点(2,0),0=a×22+2，a=-0.5.-1=-0.5x²+2解得x=±6，这时水面宽度为26m.因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(26-4)m.探究新知2ml=4mo解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.此时,抛物线的顶点为(2,2).因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)²+2.∵抛物线过点(0,0),∴0=a×(-2)²+2.探究新知∴a=-0.5.因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2)²+2.当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(26-4)m.这时有-1=-0.5(x-2)2+2，解得x1=2-6，x2=2+6这时水面的宽度为x2-x1=26，2ml=4mo【思考】“二次函数应用”的思路回顾“最大利润”和“桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.理解问题;分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；用数学的方式表示出它们之间的关系;做数学求解;检验结果的合理性.探究新知有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式.ACDBx20myOh解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04.∴y=-0.04x2.巩固练习利用二次函数解决运动中抛物线形问题素养考点2探究新知例2如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？探究新知2.5m4m3.5m3.05mxyO解：如图，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5.当x=﹣2.5时，y=2.25.故该运动员出手时的高度为2.25m.2.25a+k=3.05，k=3.5，探究新知一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）22近似满足函数关系y＝﹣1x+x+c，其图象如123图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．求铅球出手时离地面的高度；在铅球行进过程中，当它离12地面的高度为1m时，求此时铅球的水平距离．巩固练习y123解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣1x2+2x+c，得﹣1×102+2×10+c＝0，123解得c＝5，33x即铅球出手时离地面的高度5m；2（2）将y＝11代入﹣1x+x+12123325＝1112,，整理，得x2﹣8x﹣9＝0，解得x1＝9，x2＝﹣1（舍），∴此时铅球的水平距离为9m．巩固练习某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．连接中考解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得25a+5=0，解得a=﹣0.2，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时，有﹣0.2（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，因此为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=﹣0.2（x﹣3）2+5=3.2．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x2+bx+3.2，∵该函数图象过点（16，0），∴0=﹣0.2×162+16b+3.2，解得b=3.∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣0.2x2+3x+3.2=﹣0.2（x﹣7.5）2+14.45．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为14.45米．连接中考822为y1x2x1x3，那么铅球运动过程中yO最高点离地面的距离为2米.课堂检测基础巩固题足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在4s后落地.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（C）A.50mB.100mC.160mD.200m课堂检测课堂检测∴﹣5.6=36a，a7.274545∴抛物线的表达式为yx.能力提升题某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2.∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，课堂检测，解得k=即k1≈5.07，k2≈﹣5.07.，∴CD=5.07×2≈10.14（m）设最多可安装n扇窗户，∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．则最大的正整数为4．答：最多可安装4扇窗户.2457∴4k6357（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？解：（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4.xO-450450课堂检测拓广探索题悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；y解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得81.5=a•4502+0.5.解得yxO-45045081145022500.a2500故所求表达式为y1x20.5(450x450).课堂检测y-450O450x(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.解：当x=450﹣100=350（m）时，得12500y35020.549.5(m).当x=450﹣50=400（m）时，得12500y40020.564.5(m).课堂检测转化回归（二次函数的图象和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）建立恰当的直角坐标系①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；②选择运算简便的方法实际问题数学模型转化的关键课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看ThankYou 查看更多