首页 > 初中 > 数学 > 21.2.2公式法教案
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21．2.2 公式法第1课时 一元二次方程根的判别式教学内容一元二次方程根的判别式，即Δ＝b2－4ac.教学目标1．熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况；2．会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围．教学重难点1．运用判别式求出符合题意的字母的取值范围；2．运用判别式判别一元二次方程根的情况．教学过程一、教师导学对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，我们知道Δ＝b2－4ac.当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根，此结论反之也成立．如果说方程有实数根，切记此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．二、合作探究了解了上述判别规律，我们来进行以下探究：探究一：不解一元二次方程，判断根的情况【例1】不解方程，判断x2－2x＋3＝0的根的情况．解：Δ＝b2－4ac＝4－4×1×3＝－8<0，∴原方程无实数根．说明：解此类题时，一般先要把方程化为一般形式求出Δ，然后对Δ进行计算，使Δ的符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论．探究二：根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围【例2】已知一元二次方程kx2＋(2k－1)x＋k＋2＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：a＝k，b＝2k－1，c＝k＋2，Δ＝b2－4ac＝(2k－1)2－4k(k＋2)＝－12k＋1∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac>0，即－12k＋1>0，k<.∴k<且k≠0.说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围．探究三：证明字母系数方程有无实数根【例3】求证方程x2－(m＋2)x＋2m－1＝0有两个不相等的实数根．证明：Δ＝[－(m＋2)]2－4(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4无论m取何值都有(m－2)2＋4>0，即Δ>0.
所以无论m取何值，方程有两个不相等的实数根．说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出Δ，如果不能直接判断Δ情况，就利有配方法把Δ配成含有完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断Δ的情况，从而证明出方程根的情况．三、巩固练习1．不解方程，判别方程x2－4x＋8＝0的根的情况；2．关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＋2m－1＝0，其根的判别式为1，求m的值及该方程的根；3．已知m为非负整数，且关于x的方程(m－2)x2－(2m－3)x＋m＋2＝0有两个实数根，求m的值．四、总结提升本节课应掌握：一元二次方程根的判别式的定义及其运用，为后面学习用公式法解一元二次方程打好基础．五、布置作业教材P17习题21.2 4、12、13第2课时 公式法
教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标1．知识与技能：理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2．过程与方法：复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．教学重难点重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、教师导学(学生活动)用配方法解下列方程(1)6x2－7x＋1＝0 (2)4x2－3x＝52老师点评：(1)移项，得：6x2－7x＝－1；二次项系数化为1，得：x2－x＝－；配方，得：x2－x＋()2＝－＋()2；(x－)2＝；x－＝±；x1＝＋＝＝1；x2＝－＋＝＝.(2)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)移项；(2)化二次项系数为1；(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方；(4)原方程变形为(x＋m)2＝n的形式；(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、合作与探究如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝
分析：因为前面系数是具体数字方程已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2＋bx＝－c二次项系数化为1，得x2＋x＝－；配方，得：x2＋x＋()2＝－＋()2；即(x＋)2＝；∵b2－4ac≥0且4a2>0；∴≥0；直接开平方，得：x＋＝±；即x＝；∴x1＝，x2＝由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子x＝就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．【例】用公式法解下列方程．(x－2)(3x－5)＝1分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：将方程化为一般形式3x2－11x＋9＝0；a＝3，b＝－11，c＝9；b2－4ac＝(－11)2－4×3×9＝13>0；∴x＝＝；∴x1＝，x2＝三、巩固练习教材P12 练习1.(1)、(3)、(5)四、能力展示某数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋2＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题．(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．(2)若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？五、总结提升
本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程；(4)初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业教材P17 习题21.2 5.
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