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第二章达标检测卷一、选择题(本大题共12道小题，每小题3分，共36分)1．下面所给的图形是轴对称图形的是( )2．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即∠1＝∠2，∠3＝∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的( )A．A点B．B点C．C点D．D点3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B′的度数为( )A．110°B．70°C．90°D．30°4．下列说法正确的是( )A．等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴是斜边上的中线所在的直线D．等腰三角形有3条对称轴5．如图，A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A．AC，BC两边上的高的交点处B．AC，BC两边上的中线的交点处C．AC，BC两边垂直平分线的交点处D．∠A，∠B两内角平分线的交点处14
6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为( )A．48°B．36°C．30°D．24°7．小明和哥哥并排站在镜子前，小明看到镜子中哥哥的球衣号码如图所示，那么哥哥球衣上的号码实际是( )A．25B．52C．55D．228．如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折，然后剪下一个小三角形．将纸片打开，则打开后的图形是( )9．如图，等腰三角形ABC的周长为21，底边BC的长为5，腰AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△BEC的周长为( )A．11B．12C．13D．1410．如图所示的轴对称图形中，对称轴的总数量是( )A．16条B．15条C．14条D．13条14
11．如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )A．50°B．60°C．70°D．80°二、填空题(本大题共6道小题，每小题3分，共18分)13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动(不与端点重合)，点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2.则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是________．14．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AB上的高与AC的夹角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为____________．15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E，F为AD上的两点，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积是________．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交边BC于点D，如果BD＝2，AC＝7，那么△ADC的面积等于________．18．如图，∠ABC＝30°，点D是∠ABC内的一点，且DB＝9，若点E，F分别是射线BA，BC上异于点B的动点，则△DEF的周长的最小值是________．14
三、解答题(本大题共7道小题，19－21题每题8分，22－24题每题10分，25题12分，共66分)19．作图题：(不写画法，保留作图痕迹)如图，在小河的同旁有甲、乙两个村庄，现计划在河岸AB上建一个水泵站，向甲、乙两村供水，用以解决村民用水问题．(1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等，请你在图①中，确定水泵站M在河岸AB上建造的位置；(2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的材料最省，请你在图②中，确定水泵站M在河岸AB上建造的位置．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE.求∠CDE的度数．14
21．如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.小明说：“E，F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE.试说明：(1)△AEF≌△CEB；(2)∠ABF＝2∠FBD.14
23．如图，在四边形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，垂足为点O.(1)四边形ABCD是不是轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？(2)图中有哪些相等的线段？(3)作出点O到∠BAD两边的垂线段，并说明它们的大小关系．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝________°，∠DEC＝________°，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变________．(填“大”或“小”)(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．(3)在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．14
25．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC.(1)求∠APO＋∠DCO的度数；(2)试说明：AC＝AO＋AP.14
答案一、1.A 2.D3．A 【点拨】因为△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，所以∠B′＝∠B.因为∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－50°－20°＝110°，所以∠B′＝110°.4．C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.C10．B 【点拨】图①有4条对称轴，图②有3条对称轴，图③有4条对称轴，图④有4条对称轴，所有图形共有15条对称轴．11．C 【点拨】将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形如图所示，共有3个．12．D 【点拨】如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，连接AE，AF，则A′A″的长即为△AEF的周长的最小值．连接AC.因为∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∠BCA＋∠DCA＝50°，所以∠BAC＋∠DAC＝130°，即∠DAB＝130°.所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.又易知∠A′＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，所以∠EAA′＋∠A″AF＝50°.所以∠EAF＝130°－50°＝80°.二、13.9.6 【点拨】如图所示，连接CP.14
因为点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，所以P1C＝PC＝P2C.所以线段P1P2的长等于2CP.当CP⊥AB时，CP的长最小，此时线段P1P2的长最小．因为∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，所以CP＝＝4.8.所以线段P1P2的长的最小值是9.6.14．50°或130° 【点拨】当顶角为锐角时，如图①，CD⊥AB，∠CDA＝90°，∠ACD＝40°，所以∠A＝90°－∠ACD＝90°－40°＝50°；当顶角为钝角时，如图②，CE⊥AB交BA的延长线于点E，∠CEA＝90°，∠ACE＝40°，所以∠CAE＝90°－∠ACE＝90°－40°＝50°.所以∠BAC＝180°－50°＝130°.15．3 【点拨】如图，延长BA交EF于P′，此时|PA－PB|的值最大，则|P′A－P′B|＝AB＝3.14
16．6 【点拨】因为AB＝AC，AD⊥BC，所以△ABC关于直线AD对称．所以S△BEF＝S△CEF.因为△ABC的面积为12，所以图中阴影部分的面积＝S△ABC＝6.17．7 【点拨】过点D作DE⊥AC于点E.因为AD平分∠BAC，所以DE＝BD＝2.所以S△ADC＝AC·DE＝×7×2＝7.18．9 【点拨】如图所示，作D关于BA，BC的对称点M，N.连接BM，BN，MN，则当E，F是MN与BA，BC的交点时，△DEF的周长最短，最短的值是MN的长．因为D，M关于BA对称，所以BM＝BD，∠ABM＝∠ABD.同理可得∠NBC＝∠DBC，BN＝BD.所以∠MBN＝2∠ABC＝60°，BM＝BN.所以△BMN是等边三角形．所以MN＝BM＝BD＝9.所以△DEF的周长的最小值是9.14
三、19.解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．20．解：因为AB＝AC，AD⊥BC，所以AD平分∠BAC.所以∠CAD＝∠BAD＝40°.因为AD＝AE，所以∠ADE＝(180°－∠CAD)＝70°.因为AD⊥BC，所以∠ADC＝90°.所以∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－70°＝20°.21．解：同意．理由如下：如图，连接OE，OF.由题意，知BE＝OE，CF＝OF，∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠BOE＝∠OBC＝30°，∠COF＝∠OCB＝30°，∠BOC＝120°.14
易得∠EOF＝60°，∠OEF＝60°，∠OFE＝60°.所以△OEF是等边三角形．所以OE＝OF＝EF.所以EF＝BE＝CF.所以E，F是BC的三等分点．22．解：(1)因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠AEF＝∠CEB＝90°，∠AFE＋∠EAF＝90°，∠CFD＋∠ECB＝90°.又因为∠AFE＝∠CFD，所以∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，所以△AEF≌△CEB(ASA)．(2)由△AEF≌△CEB，得EF＝EB，所以∠EBF＝∠EFB.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，所以BD＝CD.所以FB＝FC.所以∠FBD＝∠FCD.因为∠EFB＝180°－∠BFC＝∠FBD＋∠FCD＝2∠FBD，所以∠EBF＝2∠FBD，即∠ABF＝2∠FBD.23．解：(1)四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是AC所在直线和BD所在直线．(2)相等的线段有：AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，OB＝OD.(3)如图，分别过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥AB于点F.易知AO平分∠BAD，14
又因为OE⊥AD，OF⊥AB，所以OE＝OF.24．解：(1)25；115；小(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由如下：因为DC＝2，AB＝2，所以DC＝AB.因为AB＝AC，∠B＝40°，所以∠C＝∠B＝40°.因为∠ADB＝180°－∠ADC＝∠DAC＋∠C，∠DEC＝180°－∠AED＝∠DAC＋∠ADE，且∠C＝40°，∠ADE＝40°，所以∠ADB＝∠DEC.在△ABD和△DCE中，所以△ABD≌△DCE(AAS)．(3)存在．∠BDA＝110°或∠BDA＝80°.25．解：(1)连接BO，如图①所示．因为AB＝AC，AD⊥BC，所以BD＝CD.所以OB＝OC.14
所以∠DBO＝∠DCO.又因为OP＝OC，所以OB＝OP.所以∠APO＝∠ABO.所以∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABC.因为∠BAC＝120°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝30°，所以∠APO＋∠DCO＝30°；(2)过点O作OH⊥BP于点H，如图②所示．因为∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，所以∠HAO＝∠CAD＝60°.又因为OH⊥BP，所以∠OHA＝90°.所以∠HOA＝30°.所以AO＝2AH.因为BO＝PO，OH⊥BP，所以BH＝PH.又因为HP＝AP＋AH，所以BH＝AP＋AH.又因为AB＝BH＋AH，所以AB＝AP＋2AH.又因为AB＝AC，AO＝2AH，所以AC＝AP＋AO.14
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