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第三章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中是二次函数的是( )A．y＝3x－1B．y＝3x2－1C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝2．对于二次函数y＝3(x－2)2＋1的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝－2C．顶点坐标是(2，1)D．与x轴有两个交点3．将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的表达式为( )A．y＝－x－2B．y＝－x2＋2C．y＝x2－2D．y＝x2＋24．已知函数y＝x2＋2x－3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是( )A．－4B．0C．2D．35．若二次函数y＝a2x2－bx－c的图象过不同的六点：A(－1，n)、B(5，n－1)、C(6，n＋1)、D(，y1)、E(2，y2)、F(4，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y36．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )7．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是( )A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－1或x＞312
8．竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )A．23.5mB．22.5mC．21.5mD．20.5m9．抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于A点，与x轴的正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b的值是( )A．－5B．4或－4C．4D．－410．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是( ) 二、填空题(每题3分，共24分)11．二次函数y＝－x2－2x＋3的图象的顶点坐标为________．12．如图所示，二次函数的图象与x轴相交于点(－1，0)和(3，0)，则它的对称轴是直线________．13．a，b，c是实数，点A(a＋1，b)，B(a＋2，c)在二次函数y＝x2－2ax＋3的图象上，则b，c的大小关系是b________c.14．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下表：12
x…－10123…y…105212…则当y＜5时，x的取值范围是______________．16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元．17．如图是一座抛物线形拱桥，当水面宽4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为________．18．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为(1，2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x1＜x2)，若x1＋x2＞2，则y1＜y2;④若抛物线经过点(3，－1)，则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为－1，3.其中正确结论的序号为________．12
三、解答题(19～22题每题8分，24题10分，其余每题12分，共66分)19．求下列函数的最大值或最小值．(1)y＝－x2＋2x－1； (2)y＝4x2－4x－6.20．已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1)．(1)求m的值；(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？21．已知抛物线y＝x2和直线y＝ax＋1.求证：不论a为何值，抛物线与直线必有两个不同的交点．12
22．【2020·宁波】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x/(元/千克)55606570销售量y/千克70605040(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？12
24．如图所示，有一条双向公路隧道，其截面由抛物线和矩形ABCO组成，隧道最大高度为4.9m，AB＝10m，BC＝2.4m．现把隧道的截面放在直角坐标系中，若有一辆高为4m、宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道的右壁超过多少米才不至于碰到隧道顶部？(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)25．如图，抛物线过点A(0，1)和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B(，0)，平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．(1)求点F的坐标及抛物线的表达式；(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．12
答案一、1.B 2.C3．A 【点拨】∵抛物线C1：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，2)．∵抛物线C1向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为(0，2)．∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴易得抛物线C3的开口方向向下，顶点坐标为(0，－2)，∴抛物线C3的表达式为y＝－x2－2.故选A.4．B 【点拨】令y＝0，得到x2＋2x－3＝0，即(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1或x＝－3.由函数图象得当－3＜x＜1时，y＜0，则m的值可能是0.故选B.5．D 【点拨】∵二次函数y＝a2x2－bx－c的图象过点A(－1，n)、B(5，n－1)、C(6，n＋1)，∴抛物线的对称轴直线x满足2＜x＜2.5，抛物线的开口向上，∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大．∵D(，y1)、E(2，y2)、F(4，y3)，∴y2＜y1＜y3.故选D.6．C 【点拨】A.∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数的图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数的图象交于y轴负半轴的同一点，故A错误；B．∵二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数的图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数的图象交于y轴负半轴的同一点，故B错误；C．∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数的图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数的图象交于y轴负半轴的同一点，故C正确；D．∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数的图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数的图象交于y轴负半轴的同一点，故D错误．故选C.7．A8．C 【点拨】由题意可得h＝－5t2＋20t＋1.5＝－5(t－2)2＋21.5，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5.故选C.9．D 10.B12
二、11.(－1，4) 【点拨】∵y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x＋1－1)＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点坐标为(－1，4)．12．x＝1 13.＜14．x1＝－1，x2＝315．0＜x＜4 【点拨】由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x＝2.∵当x＝0时y＝5，∴当x＝4时，y＝5，又易知该函数图象开口向上，∴当y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4.16．70 【点拨】设每顶头盔的售价为x元，每月获得的利润为w元，则w＝(x－50)[200＋(80－x)×20]＝－20(x－70)2＋8000，∵－20＜0，∴当x＝70时，w取得最大值．17．2m18．①④ 【点拨】①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②△ABC的面积＝AB·yC＝AB×2＝2，解得AB＝2，则点A(0，0)，即c＝0，与图象不符，故②错误，不符合题意；③抛物线的对称轴为直线x＝1，若x1＋x2＞2，则(x1＋x2)＞1，则点N离抛物线的对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点(3，－1)，则抛物线y′＝ax2＋bx＋c＋1过点(3，0)，对称轴为直线x＝1，故该抛物线也过点(－1，0)，故方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为－1，3，故④正确，符合题意．故答案为①④.三、19.解：(1)∵y＝－x2＋2x－1＝－(x2－2x＋1)＝－(x－1)2.∴函数有最大值，最大值是0.(2)∵y＝4x2－4x－6＝4(x2－x＋)－7＝4(x－)2－7.∴函数有最小值，最小值是－7.20．解：(1)∵抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1)，12
∴解得m＝－1.(2)当m＝－1时，此抛物线的表达式为y＝－2x2＋1，故顶点坐标为(0，1)，对称轴为y轴．(3)当x＜0时，y随x的增大而增大．21．证明：由消去y，整理得x2－ax－1＝0，∴Δ＝(－a)2－4××(－1)＝a2＋1.∵不论a取何值，a2总是大于或等于0，∴a2＋1＞0，即方程有两个不等实根，∴不论a为何值，抛物线与直线必有两个不同的交点．22．解：(1)把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)，对称轴为直线x＝2.∵点B，C关于直线x＝2对称，B(1，0)，∴C(3，0)，∴当y＞0时，1＜x＜3.(2)易知D(0，－3)，∴点D平移到A，二次函数的图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，可得平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝－(x－4)2＋5.23．解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，由表可得解得∴y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋180.(2)由题意得(x－50)(－2x＋180)＝600， 整理得x2－140x＋4800＝0，解得x1＝60，x2＝80.答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．12
(3)设当天的销售利润为w元，则w＝(x－50)(－2x＋180)＝－2(x－70)2＋800，∵－2＜0，∴当x＝70时，w最大值＝800.答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．24．解：如图所示，由题意得抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，且过点O(0，0)和点C(10，0)，可求出抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x.用矩形DEFG表示汽车的截面，设BD＝am，延长DG交抛物线于H，且DG交x轴于M，则AD＝(10－a)m，HM＝m.∴HD＝[－(10－a)2＋10－a＋2.4]m.由题意得－(10－a)2＋12.4－a＞4，化简得(a－2)(a－8)＜0，∴2＜a＜8.故汽车的右侧离隧道的右壁超过2m才不至于碰到隧道顶部．25．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，直线AB的表达式为y＝kx＋m，∵A(0，1)，B(，0)，∴解得∴直线AB的表达式为y＝－x＋1.∵点F的横坐标为，点F在直线AC上，∴点F的纵坐标为－×＋1＝－，∴点F的坐标为.∵点A在抛物线上，∴c＝1.∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝，∴b＝－2a，12
∴抛物线的表达式可化为y＝ax2－2ax＋1. ∵四边形DBFE为平行四边形，∴BD＝EF，∴－3a＋1＝a－8a＋1－，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋1.(2)设P(n，－n2＋2n＋1)，作PP′⊥x轴交AC于点P′，∴P′，∴PP′＝－n2＋n，∴S△ABP＝OB·PP′＝－n2＋n＝－＋，∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时点P的坐标为.(3)由可得x＝0或x＝，∴C.设Q(，t)，①当AQ为对角线时，易得R，∵R在抛物线y＝－x2＋2x＋1上，∴t＋＝－＋2×＋1，解得t＝－，∴Q，R.②当AR为对角线时，易得R，∵R在抛物线y＝－x2＋2x＋1上，12
∴t－＝－＋2×＋1，解得t＝－10，∴Q(，－10)，R.综上所述，Q，R；或Q(，－10)，R.12
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