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第二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．已知cosA＝，则锐角A的度数为( )A．30°B．45°C．50°D．60°2．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为( )A.B.C.D．23．在锐角三角形ABC中，若＋＝0，则∠C等于( )A．60°B．45°C．75°D．30°4．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为( )A.B.C．2D．25．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为( )A.B.C.D.6．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )A．100mB．50mC．50mD.m7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为( )A.B.C.D.13
8．如图所示，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是( )A．200mB．200mC．220mD．100(＋1)m9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则( )A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( )A.B.C.D.二、填空题(每题3分，共24分)11．cos60°＝________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝_______．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.14．已知锐角A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝____．15．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°≈1.2)16．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为413
m．则自动扶梯的垂直高度BD＝________m．(结果保留根号)17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，连接AD′，那么tan∠BAD′＝________.18．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为________海里．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．计算：(1)sin60°－cos45°＋；(2)＋4cos60°·sin45°－.20．a，b，c是△ABC的三边，且满足等式b2＝c2－a2，5a－3c＝0，求sinA＋sinB的值．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长．13
22．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，工作人员正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200m，求该河段的宽度．(结果保留根号) 13
23．沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12m，斜坡CD的坡度i＝1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.(1)求斜坡CD的坡角α；(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18m，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)24．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据：≈1.414，≈1.732)25．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长为2213
m，坡角∠BAD＝68°.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离．(结果精确到0.1m)(2)为了确保安全，学校计划改造时保持坡的根部A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？(结果精确到0.1m)(参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.4751，sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)13
答案一、1.A2．B 【点拨】过点A作AD⊥BC于点D，如图，则∠ADC＝∠ADB＝90°.∵tanC＝2＝，sinB＝＝，∴AD＝2DC，AB＝3AD.∵AB＝3，∴AD＝1，DC＝.在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝.故选B.3．C 【点拨】由题意，得sinA－＝0，－cosB＝0.所以sinA＝，cosB＝.所以∠A＝60°，∠B＝45°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.4．A 【点拨】如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝.故选A.5．C 6.A 7.D8．D 【点拨】由题意可知，∠A＝30°，∠B＝45°，tanA＝，tanB＝，又CD＝100m，因此AB＝AD＋DB＝＋＝＋＝100＋100＝100(＋1)(m)．9．D 【点拨】如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF，交FE的延长线于点N.在Rt△ABM中，∵sinB＝，∴AM＝3×sin50°，∴S1＝BC·AM＝×7×3×sin50°＝13
sin50°.在Rt△DEN中，∠DEN＝180°－130°＝50°.∵sin∠DEN＝，∴DN＝7×sin50°，∴S2＝EF·DN＝×3×7×sin50°＝sin50°，∴S1＝S2.故选D.10．D二、11.12．60° 【点拨】∵BC＝10，∴S△ABC＝＝＝，∴AC＝，∴tanA＝＝＝，∴∠A＝60°.13. 14.15．10 【点拨】如图，在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H.∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，∴BF＝EH，BE＝FH.∵斜坡AB的坡比为12：5，∴＝，设BE＝12xm，则AE＝5xm，由勾股定理得，AE2＋BE2＝AB2，即(5x)2＋(12x)2＝262，解得x＝2(负值舍去)，∴AE＝10m，BE＝24m，13
∴FH＝BE＝24m.在Rt△FAH中，tan∠FAH＝，∴AH＝≈20m，∴BF＝EH＝AH－AE≈10m.∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．16．2 【点拨】∵∠BCD＝∠BAC＋∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4m.在Rt△BDC中，sin∠BCD＝，∴sin60°＝＝，∴BD＝2m.17. 【点拨】由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝＝＝.18．20 【点拨】如图，过点A作AC⊥BD于点C.根据题意可知：∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝20海里，在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB·sin45°＝20×＝10(海里)，∵在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝20海里．即此时轮船与小岛的距离AD为20海里．三、19.解：(1)原式＝×－×＋2＝－1＋213
＝.(2)原式＝－(＋)＋4××－＝－－＋－(2－)＝－2.20．解：由b2＝c2－a2，得a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°.∵5a－3c＝0，∴＝，即sinA＝.设a＝3k，则c＝5k，∴b＝＝4k.∴sinB＝＝，∴sinA＋sinB＝＋＝.21．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°.又∵CD＝，∴BC＝＝3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝＝6.故AB的长为6.22．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.13
根据题意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.∴AD＝CD.∴BD＝BC－CD＝200－AD.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝(200－AD)．∴AD＋AD＝200.∴AD＝＝(300－100)(m)．故该河段的宽度为(300－100)m.23．解：(1)∵斜坡CD的坡度i＝1：1，∴tanα＝＝1，∴α＝45°.答：斜坡CD的坡角α为45°.(2)∵DH⊥BC，α＝45°，∴CH＝DH＝12m，∠PCH＝∠PCD＋α＝26°＋45°＝71°.在Rt△PCH中，∵tan∠PCH＝＝≈2.90，∴PD≈22.8m.∵22.8＞18，∴此次改造符合电力部门的安全要求．24．解：(1)由题意得，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋45°＝135°，∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝180°－30°－135°＝15°.(2)作PH⊥AB于H，如图．13
易得△PBH是等腰直角三角形，∴BH＝PH.设BH＝PH＝x海里，由题意得AB＝40×＝20(海里)．在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°＝＝，即＝，解得x＝10＋10≈27.32.∵27.32>25，∴海监船继续向正东方向航行安全．25．解：(1)如图，过点B作BE⊥AD，E为垂足，则BE＝AB·sin68°＝22×sin68°≈22×0.9272≈20.4(m)．即改造前坡顶与地面的距离约为20.4m.(2)如图，过点F作FG⊥AD，G为垂足，连接FA.由题易得∠FAG＝50°，易得四边形BFGE是矩形，即FG＝BE，FB＝GE.∴AG＝≈≈17.12(m)，∵Rt△ABE中，∠BAD＝68°，∴AE＝AB·cos68°≈22×0.3746≈8.24(m)， ∴BF＝GE＝AG－AE≈8.9m，即BF至少是8.9m.13
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