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第4章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．2cos60°的值是( )A．1B.C.D.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinA的值是( )A.B.C.D.3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则tan∠ABC的值为( )A.B.C.D．1 4．已知α为锐角，且sin(90°－α)＝，则α的度数为( )A．30°B．60°C．45°D．75°5．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2mB．2mC．(2－2)mD．(2－2)m13
6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则cos∠EFC的值是( )A.B.C.D.7．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )A．100mB．50mC．50mD.m8．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC的值为( )A.B.C.D. 9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°13
10．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度(或坡比)为i＝10.75，坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为( )(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米二、填空题(每题3分，共24分)11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB＝________．12．如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是________．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是直角边BC上的中线，若sin∠CAM＝，则tanB的值为________． 14．已知锐角A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝________．15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.13
16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.17．一次函数的图象经过点(tan45°，tan60°)和(－cos60°，－6tan30°)，则此一次函数的表达式为________________．18．如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.13
三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19．计算：(1)(2cos45°－sin60°)＋；(2)sin60°·cos60°－tan30°·tan60°＋sin245°＋cos245°.20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c.13
21．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tanA＝，求CF的长．22．如图，甲建筑物AD和乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°.求这两座建筑物顶端C，D间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)23．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D13
的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i＝1∶1.875，同时他测得自己的影长NH＝336厘米，而他的身高MN为168厘米，求铁塔的高度．24．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，海岸线MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C，A与D之间的距离(结果保留根号)．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73)13
答案一、1.A 2.A 3.B 4.A5．B 点拨：在Rt△ABD中，AD＝AB·sin60°＝4×＝2(m)，在Rt△ACD中，AC＝＝＝2(m)，故选B.6．D 7.A8．B 点拨：如图，连接BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.∴tanC＝＝.9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sinA＝，∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin(180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°.∴∠BAC＝150°.10．A 点拨：如图，过点C作CN⊥DE，交ED的延长线于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE，则MN＝BC＝20米．13
∵斜坡CD的坡比i＝1：0.75，∴令CN＝x米，则DN＝0.75x米．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝102，解得x＝8(负值已舍去)，则CN＝8米，DN＝6米．∵DE＝40米，∴ME＝MN＋DN＋DE＝66米，AM＝(AB＋8)米．在Rt△AME中，tanE＝，即tan24°＝，从而0.45≈，解得AB≈21.7米．二、11.12. 点拨：如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵点A(3，t)在第一象限，∴AB＝t，OB＝3，∴tanα＝＝＝，∴t＝. 13. 14.15. 点拨：由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝＝＝.13
16. 点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝＝＝.17．y＝2x－点拨：tan45°＝1，tan60°＝，－cos60°＝－，－6tan30°＝－2.设函数y＝kx＋b的图象经过点(1，)，(－，－2)，则用待定系数法可求出k＝2，b＝－. 18. 点拨：如图，过点C作CH⊥l，垂足为点H.由题意得∠ACH＝60°，∠BCH＝30°.设CH＝xkm，在Rt△ACH中，AH＝CH·tan∠ACH＝x·tan60°＝xkm.在Rt△BCH中，BH＝CH·tan∠BCH＝x·tan30°＝xkm.因为AH－BH＝AB，所以x－x＝2，解得x＝，即船C到海岸线l的距离是km.三、19.解：(1)原式＝×(2×－)＋＝2－＋＝2.(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4.13
(2)∠B＝45°，b＝3，c＝6.21．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC.∴四边形DECF是平行四边形．(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.又∵tanA＝＝tan∠DCH＝，∴DH＝12，CH＝5.∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.∴DE＝＝15.∴CF＝DE＝15.22．解：设AD＝xm，则BC＝6xm.在Rt△ADE中，∵∠AED＝30°，∴AE＝＝＝x(m)，DE＝2AD＝2xm.在Rt△BCE中，∵∠BEC＝60°，∴BE＝＝＝2x(m)，EC＝2BE＝4xm.∵AE＋BE＝AB，∴x＋2x＝90，解得x＝10.∴DE＝20m，EC＝120m.13
在△DEC中，∠DEC＝180°－30°－60°＝90°，根据勾股定理，得CD＝＝20(m)．答：这两座建筑物顶端C，D间的距离为20m.23．解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，延长AC，交BD的延长线于点F，在Rt△CDE中，i＝1∶1.875，∴＝＝，设CE＝8x米，DE＝15x米，则DC＝17x米，∵DC＝3.4米，∴CE＝1.6米，DE＝3米，在Rt△MNH中，tan∠MHN＝＝＝，∴在Rt△CEF中，tanF＝＝＝tan∠MHN＝，∴EF＝3.2米，即BF＝2＋3＋3.2＝8.2(米)，∴在Rt△ABF中，tanF＝＝，∴AB＝4.1米．答：铁塔的高度是4.1米．24．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB于点E.13
设AE＝a海里，则BE＝AB－AE＝100(＋1)－a(海里)．在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠EAC＝60°，∴AC＝＝＝2a(海里)，CE＝AE·tan60°＝a(海里)．在Rt△BCE中，∠EBC＝45°，∴∠BCE＝90°－∠EBC＝45°.∴∠EBC＝∠ECB，BE＝CE.∴100(＋1)－a＝a，解得a＝100.∴AC＝200海里．在△ACD和△ABC中，∠ACB＝180°－45°－60°＝75°＝∠ADC，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝200(－1)海里．答：A与C之间的距离为200海里，A与D之间的距离为200(－1)海里．(2)如图，过点D作DF⊥AC于点F.在Rt△ADF中，∠DAF＝60°，∴DF＝AD·sin60°＝200(－1)×＝100(3－)≈127(海里)．∵127＞100，∴若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触礁危险．13
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