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第4章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．2sin60°的值等于( )A．1B.C.D．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝24，则sinA的值为( )A.B.C.D.3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则tan∠ABC的值为( )A.B.C.D．14．已知α为锐角，且sin(90°－α)＝，则α的度数为( )A．30°B．60°C．45°D．75°5．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2mB．2mC．(2－2)mD．(2－2)m6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则cos∠EFC的值是( )A.B.C.D.7．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )A．100mB．50mC．50mD.m8．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝m，∠BAC＝α，则下列结论错误的是( )A．∠BDC＝αB．BC＝m·tanα12,C．AO＝D．BD＝ 9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°10．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度i＝1：0.75，坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内)．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为( )(参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米二、填空题(每题3分，共24分)11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB＝________．12．如图，点A(3，t)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是________．12,13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是直角边BC上的中线，若sin∠CAM＝，则tanB的值为________． 14．已知锐角A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝________．15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.17．一次函数的图象经过点(tan45°，tan60°)和(－cos60°，－6tan30°)，则此一次函数的表达式为________________．18．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m(结果保留根号)．三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19．计算：(1)(2cos45°－sin60°)＋；(2)sin60°·cos60°－tan30°·tan60°＋sin245°＋cos245°.20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.12,(1)已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c.21．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形．(2)若AB＝13，DF＝14，tanA＝，求CF的长．22．某校数学实践活动小组利用无人机测算某越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B12,的俯角为45°.(1)填空：∠A＝________°，∠B＝________°；(2)求隧道AB的长度(结果精确到1米)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)23．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i＝1∶1.875，同时他测得自己的影长NH＝336厘米，而他的身高MN为168厘米，求铁塔的高度．12,24．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，海岸线MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．(1)分别求出A与C，A与D之间的距离(结果保留根号)．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁危险？(参考数据：≈1.41，≈1.73)12,答案一、1．C 2．B 3．B 4．A5．B 【点拨】在Rt△ABD中，AD＝AB·sin60°＝4×＝2(m)，在Rt△ACD中，AC＝＝＝2(m)，故选B．6．D 7．A 8．C9．D 【点拨】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sinA＝，∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin(180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°．∴∠BAC＝150°．10．A 【点拨】如图，过点C作CN⊥DE，交ED的延长线于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE，则MN＝BC＝20米，BM＝CN．设CN＝x米．∵斜坡CD的坡度i＝1：0．75，∴DN＝0．75x米．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0．75x)2＝102，解得x＝8(负值已舍去)，则CN＝BM＝8米，DN＝6米．∵DE＝40米，∴ME＝MN＋DN＋DE＝66米．在Rt△AME中，AM＝(AB＋8)米，tanE＝，∠E＝24°，则tan24°＝，从而0．45≈，解得AB≈21．7米．12,二、11．12． 【点拨】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵点A(3，t)在第一象限，∴AB＝t，OB＝3，∴tanα＝＝＝，∴t＝．13． 14．15． 【点拨】由题意知BD′＝BD＝2．在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝＝＝．16． 【点拨】如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，易得B′D＝x，BC＝2x，则BD＝3x．所以tan∠A′BC′＝＝＝．12,17．y＝2x－ 【点拨】因为tan45°＝1，tan60°＝，－cos60°＝－，－6tan30°＝－2，所以一次函数的图象经过点(1，)，(－，－2)．设一次函数的表达式为y＝kx＋b，将点的坐标代入，可求出k＝2，b＝－．18．40三、19．解：(1)原式＝×(2×－)＋＝2－＋＝2．(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝．20．解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4．(2)∠B＝45°，b＝3，c＝6．21．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠DEC．又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC．∴四边形DECF是平行四边形．(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A，CD＝AB＝13．又∵tanA＝．∴tan∠DCH＝＝．设DH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，(12x)2＋(5x)2＝132，12,解得x＝1．∴DH＝12，CH＝5．∵四边形DECF是平行四边形，∴CF＝DE，EC＝DF＝14．∴EH＝9．∴DE＝＝15．∴CF＝DE＝15．22．解：(1)30；45(2)如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点Q作QN⊥AB于点N，则PM＝QN＝450米，MN＝PQ＝1500米，在Rt△APM中，∵tanA＝，∴AM＝＝＝450(米)．在Rt△QNB中，∵tanB＝，∴NB＝＝＝450(米)，∴AB＝AM＋MN＋NB＝450＋1500＋450≈2729(米)．答：隧道AB的长度约为2729米．23．解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，延长AC，交BD的延长线于点F，在Rt△CDE中，i＝1∶1．875，∴＝＝，设CE＝8x米，DE＝15x米，12,则DC＝17x米，∵DC＝3．4米，∴x＝0．2．∴CE＝1．6米，DE＝3米．在Rt△MNH中，tan∠MHN＝＝＝，∴在Rt△CEF中，tanF＝＝＝tan∠MHN＝，∴EF＝3．2米，∴BF＝2＋3＋3．2＝8．2(米)．∵在Rt△ABF中，tanF＝＝，∴AB＝4．1米．答：铁塔的高度是4．1米．24．解：(1)如图，过点C作CE⊥AB于点E．设AE＝a海里，则BE＝AB－AE＝100(＋1)－a(海里)．在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠EAC＝60°，∴AC＝＝＝2a(海里)，CE＝AE·tan60°＝a(海里)．在Rt△BCE中，∠EBC＝45°，∴∠BCE＝90°－∠EBC＝45°．∴∠EBC＝∠ECB，∴BE＝CE．∴100(＋1)－a＝a，解得a＝100．∴AC＝200海里．在△ACD和△ABC中，∠ACB＝180°－45°－60°＝75°＝∠ADC，∠CAD＝∠BAC，12,∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝200(－1)海里．答：A与C之间的距离为200海里，A与D之间的距离为200(－1)海里．(2)如图，过点D作DF⊥AC于点F．在Rt△ADF中，∠DAF＝60°，∴DF＝AD·sin60°＝200(－1)×＝100(3－)≈127(海里)．∵127＞100，∴若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触礁危险．12
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