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第15章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.下列四个交通标志图中为轴对称图形的是( )A B C D2．等腰三角形的两边a，b满足|a－7|＋＝0，则它的周长是( )A．17B．13或17C．13D．193．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为( )A．50°B．65°C．80°D．50°或80°4．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是( )A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠AD．∠EBC＝∠ABE(第4题) (第5题) (第7题) (第8题) (第9题) (第10题)5．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰长为6，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP＋CP的最小值为( )A．10B．6C．4D．26．点P(2，3)关于直线x＝m的对称点为(－4，3)，关于直线y＝n的对称点为(2，－5)，则m－n等于( )A．2B．－2C．0D．37．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，CD，CB的延长线交AD于点E.下列结论不一定正确的是( )A．CE垂直平分ADB．CE平分∠ACD9,C．△ABD是等腰三角形D．△ACD是等边三角形8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm9．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE的周长等于AB＋AC.其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB；⑤A、D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每题3分，共18分)11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．(第11题) (第12题)12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是________°.13．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.则∠PCQ的度数为________度．(第13题) (第14题)14．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝80°，则∠BnBn＋1Bn＋2的度数为____________°.(用含n的代数式表示，n≥1，n为整数)9,15．在平面直角坐标系中，已知A、B两点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，2)，若点M为x轴上一点，且MA＋MB最小，则点M的坐标为______________．16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，1)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为________．三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)17．如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置．(尺规作图，保留痕迹)(第17题)18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.(1)若∠BAE＝40°，求∠C的度数；(2)若△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，求DC的长．(第18题)9,19．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE，交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．(第19题)20．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：(第20题)(1)∠1＝∠2；(2)AD＝DE.9,21．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD.(1)如图①，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；(2)如图②，作∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN.①补全图②；②若BN＝DN，求证：MB＝MN.(第21题)22．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC＋CD.(1)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：9,(2)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．(第22题)9,答案一、1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.D 8.D 9.C 10.C二、11.4 12.15 13. 14.15. 【点拨】作点A关于x轴的对称点A′，则A′(－1，－1)．连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小．易求得过点A′，B的直线的表达式为y＝x－，则点M的坐标为.16．45°或90°或135° 三、17.解：如图所示．作∠NOM的平分线和线段AB的中垂线，它们的交点为C，则点C就是英语角的位置．(第17题)18．解：(1)∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD垂直平分BE.∵EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE.∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C＝∠AED＝35°.(2)∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，∴AB＋BE＋EC＝7cm，即2DE＋2EC＝7cm，∴DC＝DE＋EC＝3.5cm.19．(1)证明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．(2)解：∵F是AC的中点，∴AF＝CF.在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG.∴AE＝GC＝8.∵GC＝2BG，∴BG＝4，∴BC＝12.又∵AC＝AB＝10，∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.9,20．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B＝60°.又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，∴∠1＝∠2.(2)在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD.∵∠B＝60°.∴△BMD是等边三角形．∴∠BMD＝60°.∴∠AMD＝120°.∵CE是△ABC外角∠ACF的平分线，△ABC是等边三角形，∴∠ECF＝60°.∴∠DCE＝120°.∴∠AMD＝∠DCE.∵BA－BM＝BC－BD，∴MA＝CD.在△AMD和△DCE中，∠1＝∠2，AM＝DC，∠AMD＝∠DCE，∴△AMD≌△DCE(ASA)．∴AD＝DE.21．(1)解：∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC.∵E为AC的中点，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝160°，∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADE－∠ADB＝20°.(2)①解：补全图形，如图所示．(第21题)②证明：如图，连接AN.由CM平分∠ACB，可设∠ACM＝∠BCM＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α.在等边三角形ACD中，∵E为AC的中点，∴DN⊥AC，∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°＋α.9,在△ABN和△ADN中，∴△ABN≌△ADN(SSS)，∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°＋α，∴∠BAC＝∠BAN＋∠NAC＝60°＋2α.在△ABC中，∵∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴60°＋2α＋2α＋2α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC＝∠ABC－∠ABN＝2×20°－30°＝10°，∴∠MNB＝∠NBC＋∠NCB＝10°＋20°＝30°，∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN.(第22题)22．解：(1)猜想：AB＝AC＋CD.(2)猜想：AB＋AC＝CD.证明：如图，在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED.∵AD平分∠FAC，∴∠EAD＝∠CAD.在△EAD与△CAD中，AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD(SAS)．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD.∴∠FED＝∠ACB.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B.又∵∠FED＝∠B＋∠EDB，∴∠EDB＝∠B.∴EB＝ED.∴EA＋AB＝EB＝ED＝CD.∴AC＋AB＝CD.9
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