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第22章达标测试卷一、选择题(每题4分，共40分)1．下面给出的图形是相似图形的有( )A．两张孪生兄弟的照片B．三角板的内、外三角形C．行书的“中”与楷书的“中”D．同一棵树上摘下的两片树叶2．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则四边形BDEC与△ABC的面积之比为( )A．1：2B．1：3C．3：4D．1：43．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB的延长线于E，则图中一定相似的三角形是( )A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm6．如图，为估算某河面的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE16,＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于( )A．60mB．40mC．30mD．20m7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．(6，0)B．(6，3)C．(6，5)D．(4，2)8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于( )A．2B．2.4C．2.5D．2.259．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝( )A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：2516,10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题5分，共20分)11．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道他所居住的城市与A地之间的距离，他在比例尺为1：500000的地图上测得所居住的城市距A地32cm，则小明所居住的城市与A地之间的实际距离为________km.12．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．16,13．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使其站立在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45cm，小尺长a＝15cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42m，则铁塔的高度是________m.14．如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正△AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则Sn＝________.(用含n的式子表示)三、解答题(15题～18题，每题8分，19，20题，每题10分，21，22题，每题12分，23题14分，共90分)15．若＝＝≠0，且3x＋2y－z＝14，求x，y，z的值．16,16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．17．如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N(不与A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似？若能，请求出AN的长；若不能，请说明理由．16,18．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．19．如图，已知在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，求的值．16,20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中：(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1；(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2；(3)求△CC1C2的面积．21．如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3m，沿BD方向行走到达G点，DG＝5m，这时小明的影长GH＝5m．如果小明的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度(结果精确到0.1m)．16,22．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？(2)根据四边形QAPC的面积的计算结果，能得出什么结论？(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？16,23．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，的值有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．16,答案一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.C6．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴＝，即＝.∴AB＝40m.7．B8．B 点拨：由∠A＝∠ABC＝90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.∴＝.由AE＝×3＝1.5，AB＝2，易得BE＝2.5，∴＝.∴CF＝2.4.9．D10．D 点拨：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB.∴∠AFG＋∠FAG＝90°.∴∠DAC＝∠AFG.在△FGA和△ACD中，∴△FGA≌△ACD(AAS)．∴AC＝FG.故①正确．∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC.∴四边形CBFG是矩形．16,∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG.故②正确．∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°.故③正确．易知∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ.∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC.故④正确．二、11.160 点拨：设小明所居住的城市与A地之间的实际距离为xkm，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.12.或3 点拨：由题意得∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM:AB＝BC:BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM：BP＝CB:AB，得BM＝4×3÷4＝3.13．14 点拨：过点C作CH⊥AB于点H，交EF于点P，如图，则CH＝DA＝42m，由题意知，CP＝45cm＝0.45m，EF＝15cm＝0.15m.∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠CBA，∠CFE＝∠CAB.∴△CEF∽△CBA.∴＝，即＝.∴AB＝14m，即铁塔的高度是14m.14.× 点拨：在正△ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，∴＝.∴S1＝S.16,同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，…，Sn＝Sn－1.又∵S＝×1×＝，∴S1＝S＝×，S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，Sn＝×.三、15.解：设＝＝＝k(k≠0)，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，∵3x＋2y－z＝14，∴6k＋6k－5k＝14，解得k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝10.16．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，∴∠D＝∠CBD，∴BC＝CD，∵BC＝4，∴CD＝4，又∵∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴AE＝2CE，∵AC＝6＝AE＋CE，∴AE＝4.17．解：分两种情况讨论：(1)若△CDM∽△MAN，则＝.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a.(2)若△CDM∽△NAM，则＝.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a，即N16,点与B点重合，不符合题意．∴能在边AB上找一点N(不与A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似，此时AN＝a.18．(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠ECF.又∵∠AED＝∠CEF，且DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(AAS)．(2)解：方法一 ∵AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠F.∴△GBD∽△GCF.∴＝.∴＝.∴CF＝3.由(1)得△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝3.∴AB＝AD＋BD＝3＋1＝4.方法二 如图，取BC的中点H，连接EH.∵△ADE≌△CFE，∴AE＝CE.∴EH是△ABC的中位线．∴EH∥AB，且EH＝AB.∴∠GBD＝∠GHE，∠GDB＝∠GEH.∴△GBD∽△GHE.∴＝.∴＝.∴EH＝2.∴AB＝2EH＝4.16,19．解：∵BF⊥AC，∴∠ACB＋∠CBF＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCF＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AD＝BC.∴∠CAB＋∠ACB＝90°.∴∠CAB＝∠CBF.∴△FCB∽△CBA.∴CF:CB＝CB:AB，又∵＝，∴CF:CB＝CB:AB＝AD:AB＝1:2.∴FC:AB＝1:4.∵FC∥AB，∴△FCE∽△BAE.∴＝＝＝.20．解：(1)如图所示．(2)如图所示．(3)如图，△CC1C2的面积为×3×6＝9.21．解：根据题意得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，可证得△CDE∽△ABE.∴＝，①同理得＝，②又∵CD＝FG＝1.7m，由①②可得16,＝，即＝，解之得BD＝7.5m，将BD＝7.5m代入①得AB＝5.95m≈6.0m.故路灯杆AB的高度约为6.0m.22．解：(1)由题意知AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当QA＝AP时，△QAP是等腰直角三角形，∴6－t＝2t，解得t＝2.∴当t＝2时，△QAP是等腰直角三角形．(2)四边形QAPC的面积＝S△QAC＋S△APC＝AQ·AB＋AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36.由计算结果发现：在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当＝时，△QAP∽△ABC，则＝，即t＝1.2；②当＝时，△PAQ∽△ABC，则＝，即t＝3.∴当t＝1.2或t＝3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．23．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.∵∠B＝90°，∴AC＝＝4，∴AE＝CE＝2，∴＝＝.当α＝180°时，如图①，易得AC＝4，CE＝2，CD＝4，∴＝＝＝.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，16,∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.如题图②，∵△EDC在旋转过程中的形状和大小不变，∴＝仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD.∴＝.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4.∴＝＝.∴＝.∴的值无变化．(3)当△EDC在BC的上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；当△EDC在BC的下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.综上，BD的长为4或.16
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