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第23章达标检测卷一、选择题(每题4分，共40分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是( )A. B.C. D.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cosA的值是( )A.B.C.D.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高等于( )A.B.C.D.4．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为( )A.B.C.D.5．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为( )A.B.C.D．26．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝8，BC＝10，则tan∠EFC等于( )A.B.C.D.7．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )A．100mB．50mC．50mD.m8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )A．30°B．150°C．60°或120°D．30°或150°9．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，在斜边CB上取点M，N(不与C，B两点重合)，且tan14,B＝tanC＝tan∠MAN＝1，设MN＝x，BM＝n，CN＝m，则以下结论能成立的是( )A．m＝nB．x＝m＋nC．x＞m＋nD．x2＝m2＋n210．如图，在一个宽度为AB长的小巷内，一个梯子的长为a，梯子的底端位于AB上的点P处，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到AB的距离(BC的长)为b，梯子的倾斜角∠BPC为45°；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D处，点D到AB的距离(AD的长)为c，且此时梯子的倾斜角∠APD为75°，则AB的长等于( )A．aB．bC.D．c二、填空题(每题5分，共20分)11．已知△ABC，若与(tanB－)2互为相反数，则∠C的度数是________．12．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为________．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________．14．如图，已知点A(5，0)，直线y＝x＋b(b＞0)与y轴交于点B，连接AB.若α＝75°，则b＝________．三、解答题(15～18题每题8分；19，20题每题10分；21，22题每题12分；23题14分，共90分)14,15．计算：(1)＋(π－3)0＋|1－|＋tan45°；(2)(cos60°)－1÷(－1)2022＋|2－|－×(tan30°－1)0.16．根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C＝90°)中未知的边和锐角．(1)BC＝8，∠B＝60°；(2)∠B＝45°，AC＝.17．如图，将一副三角尺叠放在一起，测得AB＝12，试求阴影部分的面积．14,18．如图，已知▱ABCD，E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tanA＝，求CF的长．19．如图，合肥市某中学九年级数学兴趣小组要测量校园主教学楼AB的高度．由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点D，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处(D，E，B三点在同一直线上)，又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．(≈1.73，结果精确到0.1米)20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC，AD＝7，tanA＝2.求CD的长．14,21．如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果保留根号)14,22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的表达式；(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．14,23．如图，有一艘渔船在作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A，B上的观测点进行观测．从A岛测得渔船在南偏东37°方向的C处，B岛在南偏东66°方向；从B岛测得渔船在正西方向．已知两个小岛间的距离为72海里．A岛上维修船的速度为20海里/时，B岛上维修船的速度为28.8海里/时．为及时赶到维修，调度中心应派遣哪个岛上的维修船前去维修？(参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4)14,答案一、1.D2．B 【点拨】由余弦定义可得cosA＝，∵AB＝10，AC＝6，∴cosA＝＝，故选B.3．D 4.D5．B 【点拨】过点A作AD⊥BC于点D，如图，则∠ADC＝∠ADB＝90°.∵tanC＝2＝，sinB＝＝，∴AD＝2DC，AB＝3AD.∵AB＝3，∴AD＝1，DC＝.在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝，故选B.6．A 7.A8．D 【点拨】有两种情况．当顶角为锐角时，如图①，sinA＝，所以∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin(180°－∠BAC)＝，所以180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.9．D10．D 【点拨】过点C作CE⊥AD于点E，如图，则四边形ABCE是矩形，∴AB＝CE，∠CED＝∠DAP＝90°.∵∠BPC＝45°，∠APD＝75°，14,∴∠CPD＝180°－45°－75°＝60°.又∵CP＝DP＝a，∴△CPD是等边三角形．∴CD＝DP，∠PDC＝60°.∵∠ADP＝90°－75°＝15°，∴∠EDC＝15°＋60°＝75°.∴∠EDC＝∠APD.在△EDC和△APD中，∴△EDC≌△APD(AAS)．∴CE＝AD.∴AB＝AD＝c.故选D.二、11.90° 【点拨】由题意得sinA＝，tanB＝，因为是在△ABC中，所以∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠C的度数是90°.12．213. 【点拨】如图，过点N作NG⊥AD于点G.∵正方形ABCD的边长为4，点M，N关于AC对称，DM＝1，∴MC＝NC＝3，∴GD＝3.而GN＝AB＝4，∴tan∠ADN＝＝.14,14．5 【点拨】设直线y＝x＋b(b＞0)与x轴交于点C，易得C(－b，0)，B(0，b)，∴OC＝OB＝b，∴∠BCO＝45°.又∵α＝75°，∴∠BAO＝30°.在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，又易知OA＝5，∴OB＝OA·tan∠BAO＝5×＝5，∴b＝5.三、15.解：(1)原式＝－2＋1＋－1＋1＝－1.(2)原式＝÷1＋2－2－2(－1)×1＝2＋2－2－2＋2＝2.16．解：(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∵sinA＝，BC＝8，∴sin30°＝＝，∴AB＝16，又∵cosA＝，∴cos30°＝＝，∴AC＝8.(2)∵∠B＝45°，∠C＝90°，∴∠A＝45°，∴BC＝AC＝，∴AB＝＝2.17．解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝12，∴AC＝6.易知BC∥ED，14,∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝6.∴S△ACF＝×6×6＝18，即阴影部分的面积为18.18．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC.∴四边形DECF是平行四边形．(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.又∵tanA＝＝tan∠DCH＝，∴DH＝12，CH＝5.∵四边形DECF是平行四边形，∴DF＝EC，DE＝CF.∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.∴DE＝＝15.∴CF＝DE＝15.19．解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴FG＝＝AG，14,在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，∴CG＝＝AG.又∵CG－FG＝24米，即AG－AG＝24米，∴AG＝12米，∴AB＝12＋1.6≈22.4(米)，即主教学楼AB的高度约为22.4米．20．解：如图，延长AB，DC交于点E，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴∠A＋∠DCB＝180°，又∵∠ECB＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠ECB，∴tanA＝tan∠ECB＝2.∵AD＝7，∴DE＝AD·tanA＝14，设BC＝AB＝x，则BE＝BC·tan∠ECB＝2x，∴AE＝3x，CE＝x.在Rt△ADE中，由勾股定理得：(3x)2＝72＋142，解得x＝，∴CE＝×＝，则CD＝14－＝.21．解：如图，过点A作AM⊥CD，垂足为M.∴AM＝BD＝6米，14,MD＝AB＝1.5米．在Rt△ACM中，tan30°＝，∴CM＝AM·tan30°＝6×＝2(米)．∴CD＝CM＋MD＝(2＋1.5)米．在Rt△CED中，sin60°＝，即＝，∴CE＝(4＋)米．故拉线CE的长为(4＋)米．22．解：(1)将点A，B的坐标分别代入y＝－x2＋ax＋b可得，解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－3.(2)∵点C在y轴上，∴点C的横坐标为0，∵点P是线段BC的中点，∴点P的横坐标为xP＝＝，∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上，∴yP＝－＋4×－3＝，∴点P的坐标为.(3)∵点P的坐标为，且点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为2×－0＝，∴点C的坐标为，∴BC＝＝，14,∴sin∠OCB＝＝＝.23．解：如图，作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.在Rt△ADB中，AD＝AB·cos∠BAD＝72×cos66°≈72×0.4＝28.8(海里)，BD＝AB·sin∠BAD＝72×sin66°≈72×0.9＝64.8(海里)．在Rt△ADC中，AC＝≈≈＝36(海里)．CD＝AC·sin∠CAD≈36×sin37°≈36×0.6＝21.6(海里)，∴BC＝BD－CD≈64.8－21.6＝43.2(海里)，∴A岛上维修船赶到C处需要的时间tA＝≈＝1.8(时)，B岛上维修船赶到C处需要的时间tB＝≈＝1.5(时)．∵tA＞tB，∴调度中心应派遣B岛上的维修船前去维修．14
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