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第13章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题是真命题的是( )①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则|a|＝|b|；④若x＝0，则x2－2x＝0.A．①②③④B．①④C．②④D．②2．在等腰三角形ABC中，∠A＝80°，则∠B的度数不可能是( )A．80°B．60°C．50°D．20°3．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在( )A．∠A的平分线上B．AC边的高上C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，E为AB上一点，连结DE，则下列说法错误的是( )A．∠CAD＝30°B．AD＝BDC．∠ADB＝120°D．CD＝ED5．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点D，连结AD，若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是( )A．70°B．44°C．34°D．24°6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝58°，∠C＝100°，连结BD，E是AD上一点，连结BE，∠EBD＝36°，若点A，C分别在线段BE，BD的垂直平分线上，则∠ADC的度数为( )A．75°B．65°C．63°D．61°7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则9
△BDC的面积是( )A．10B．15C．20D．308．如图是5×5的正方形网格，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出( )A．3个B．4个C．5个D．6个9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连结AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )A．7B．14C．17D．2010．如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD；④∠ABE＝60°.其中正确的是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③④二、填空题(每题3分，共18分)11．如图，△AOB≌△COD，∠B＝28°，∠C＝90°，则∠COD的度数是________．12．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识，画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是________．9
13．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：________________，使得△ABC≌△DEC.14．如图，已知在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE＝________°.15．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝15°，则∠A的度数是________．16．如图，在锐角三角形ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点M，N分别是AD，AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．三、解答题(17题6分，18～20题每题8分，21，22题每题11分，共52分)17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB.(1)求∠CAD的度数；(2)延长AC至点E，使CE＝AC，求证：DA＝DE.9
19．如图，△ABC为等边三角形，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，分别连结AP、BP、AQ、CQ，∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ.(1)求证：△ABP≌△ACQ；(2)连结PQ，求证：△APQ是等边三角形．20．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，∠1＝∠2，AE与BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．21．如图，在△ABC中，AM是中线，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E，F，BE＝CF.(1)求证：AM平分∠BAC；(2)连结EF，猜想EF与BC的位置关系，并说明理由；(3)若AB＝6cm，EM＝2cm，求△ABC的面积．9
22．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的一个动点(D与B，C均不重合)，AD＝AE，∠DAE＝60°，连结CE.(1)求证：△ABD≌△ACE；(2)求证：CE平分∠ACF；(3)若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．9
答案一、1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7．B 8.B 9.C 10.D二、11.62° 12.A.S.A. 13．∠ACB＝∠DCE(答案不唯一)14．60 15．50° 【点拨】∵MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD.∵∠DBC＝15°，∴∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝∠A＋15°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＋15°.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋∠A＋15°＋∠A＋15°＝180°，∴3∠A＝150°，∴∠A＝50°.16．5三、17.证明：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B.∵CE＝BD，∴CE＋DE＝BD＋DE，即CD＝BE，在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE(S.A.S.)，∴∠ADE＝∠AED.18．(1)解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB＝×60°＝30°.9
(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ECD＝90°.在Rt△ACD和Rt△ECD中，∴Rt△ACD≌Rt△ECD(S.A.S.)，∴DA＝DE.19．证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.在△ABP和△ACQ中，∴△ABP≌△ACQ(S.A.S.)．(2)如图，∵△ABP≌△ACQ，∴AP＝AQ，∠1＝∠2.∵∠1＋∠3＝60°，∴∠2＋∠3＝60°，即∠PAQ＝60°.∴△APQ是等边三角形．20．(1)证明：∵∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠2＝∠1，∴∠1＝∠BEO.易得∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED(A.S.A.)．(2)解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE，∴∠C＝∠EDC.∵∠1＝42°，∴∠C＝(180°－42°)＝69°，9
∴∠BDE＝∠C＝69°.21．(1)证明：∵AM是△ABC的中线，∴MB＝MC.∵ME⊥AB，MF⊥AC，∴∠BEM＝∠CFM＝90°.又∵BE＝CF,∴Rt△MBE≌Rt△MCF(H.L.)，∴ME＝MF.又∵ME⊥AB，MF⊥AC，∴AM平分∠BAC.(2)解：EF∥BC.理由：由(1)知Rt△MBE≌Rt△MCF，AM平分∠BAC，∴∠BME＝∠CMF，∠BAM＝∠CAM.在△AME和△AMF中，∵∠AEM＝∠AFM＝90°，∠EAM＝∠FAM，AM＝AM，∴△AME≌△AMF(A.A.S.)，∴∠AME＝∠AMF.又∵∠AME＋∠AMF＋∠BME＋∠CMF＝180°，∴∠AME＋∠BME＝90°，∴∠AMB＝90°，即AM⊥BC.设AM与EF相交于点O.∵△AME≌△AMF，∴AE＝AF.在△AOE和△AOF中，∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(S.A.S.)，∴∠AOE＝∠AOF＝90°，∴AO⊥EF，∴EF∥BC.(3)解：∵BE＝CF，AE＝AF，∴AE＋EB＝AF＋FC，即AB＝AC.又∵ME＝MF，∴S△ABM＝S△ACM，∴S△ABC＝2S△ABM＝2××2×6＝12(cm2)．22．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵∠DAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，9
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BCA＝60°.∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠ECF＝180°－∠ACE－∠BCA＝60°，∴∠ACE＝∠ECF，即CE平分∠ACF.(3)解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∴四边形ADCE的周长＝CE＋DC＋AD＋AE＝BD＋DC＋2AD＝BC＋2AD＝2＋2AD.根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时四边形ADCE的周长取最小值．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝×2＝1.9
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