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第14章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )A．B．C．D．152．已知三组数据：①2、3、4；②3、4、5；③1、、2，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有( )A．②B．①②C．①③D．②③ 3．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是( )A．假设三个外角都是锐角B．假设三个外角中至少有一个钝角C．假设三个外角都是钝角D．假设三个外角中至多有一个钝角4．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是( )A．8B．10C．20D．325．如图，△ABC的顶点A、B、C在由边长为1的小正方形组成的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为( )A．B．C．D．6．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为( )A．12mB．13mC．16mD．17m7．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长为( )A．B．C．D．8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是( )8
A．B．C．D．9．如图，长方体的长、宽、高分别为3cm，1cm，6cm，如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为( )A．5cmB．4cmC．6cmD．7cm10．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图，轮船从港口O沿北偏西20°的方向，行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF的度数为( )A．50°B．60°C．70°D．80°二、填空题(每题3分，共18分)11．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________.12．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距________海里．13．如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连结DE，则DE＝________.14．如图，已知CA＝CB，BD⊥AC于点D，BD＝1，则数轴上点A所表示的数是________．15．如图，△ABC≌△FED，∠C＝∠EDF＝90°，点E在AB边上，点C、D、B、F在同一条直线上，AC＝3，AB＝4，则DE的长为________．8
16．在△ABC中，AB＝，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结CD，则线段CD的长为__________．三、解答题(17，19题每题8分，18，20，21，22题每题9分，共52分)17．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8.在其右侧作△BCD，使BC＝8，CD＝，求证：AB∥CD.18．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)求△ABC的周长；(2)请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由；(3)求△ABC的面积；(4)求点C到AB边的距离．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°.8
20．如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处(点A)出发，小方的平均速度为3米/秒，小杨的平均速度为3.1米/秒，但小杨一心想快，不看方向沿斜线(AC方向)游，而小方直游(AB方向)，两人到达终点的位置相距14米，按各自的平均速度计算，谁先到达终点？为什么？21．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是由一个长方体去掉一个“半圆柱”而形成的，中间可供滑行部分的截面是半径为2m的半圆，其边缘AB＝CD＝10m，点E在CD上，且CE＝2m，若一滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度忽略不计，π取整数3)22．张老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬路程最短”的课题研究时设计了以下两个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．(1)如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点C1处；(2)如图②，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的点A处沿着棱柱表面爬到C1处．8
8
答案一、1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D7．B 【点拨】由折叠的性质可知AB＝AE＝DC，∠E＝∠B＝∠D＝90°，BC＝EC＝6.在△AEF和△CDF中，∵∠E＝∠D，∠EFA＝∠DFC，AE＝CD，∴△AEF≌△CDF(A.A.S.)，∴EF＝DF.设DF＝x，则EF＝x，∴FC＝EC－EF＝6－x.在Rt△CDF中，由勾股定理可知FC2＝DF2＋CD2，∴(6－x)2＝x2＋42，解得x＝，故选B. 8．A 9.A 10．C 【点拨】由题意知OM＝60海里，ON＝80海里，MN＝100海里，∴OM2＋ON2＝MN2，∴∠MON＝90°.∵∠EOM＝20°，∴∠NOF＝180°－20°－90°＝70°.二、11.6 12.30 13.14．1－ 【点拨】在Rt△BDC中，∵BD＝1，CD＝2，∴CB＝＝＝.∴CA＝CB＝，∴数轴上点A所表示的数是1－.15.16.或 【点拨】①如图①，当点D与点C在AB同侧时，BD＝AB＝，延长BC交AD于点E，∵∠ABC＝45°，△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBC＝45°，∴BE⊥AD，AE＝DE＝AD＝＝×＝2，∴BE＝＝＝2.又∵BC＝1，∴CE＝1，∴CD＝＝＝.②如图②，当点D与点C在AB异侧时，作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，易知DE＝BE＝2.8
又∵BC＝1，∴EC＝3，∴CD＝＝＝.三、17.证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，∴BD＝＝＝6.又∵BC＝8，CD＝，∴BD2＋CD2＝62＋()2＝82＝BC2，∴△BDC是直角三角形，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD.18．解：(1)根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，故△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝＋＋.(2)△ABC不是直角三角形，理由如下：由(1)可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，∵AC2＋BC2≠AB2，∴△ABC不是直角三角形．(3)如图，S△ABC＝S正方形BDEF－S△BCD－S△ACE－S△ABF＝3×3－×1×3－×1×2－×2×3＝.(4)设点C到AB的距离是h.由(3)知，△ABC的面积是，则AB·h＝，即×h＝，解得h＝，即点C到AB的距离为.19．证明：连结AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625.在△ACD中，∵CD2＋AD2＝72＋242＝625＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°.∵四边形ABCD的内角和为360°，且∠B＝90°，∠D＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.20．解：小方先到达终点．理由如下：由题意可知AB＝48米，BC＝14米，∴小方用时48÷3＝16(秒)．在Rt△ABC中，AC＝＝＝50(米)，8
∴小杨用时50÷3.1＝16(秒)．∵16＜16，∴小方用时少，即小方先到达终点．21．解：如图，作出U型池的侧面展开图，连结AE，则AE为所求的最短距离．由题意可知，AD＝≈6(m)，DE＝DC－CE＝8m．在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，∴由勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2，∴AE＝≈＝10(m)．答：他滑行的最短距离约是10m.22．解：(1)将正方体的前面和右面展开，如图①，连结AC1，由两点之间，线段最短，知AC1是最短路径，AC1＝＝＝(cm)．(2)分两种情况讨论：①将正四棱柱的前面和右面展开，如图②，连结AC1，由两点之间，线段最短，知AC1是最短路径，AC1＝＝＝(cm)．②将正四棱柱的前面和上面展开，如图③，连结AC1，由两点之间，线段最短，知AC1是最短路径，AC1＝＝＝(cm)．因为<，所以最短路程为cm.8
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