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第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若2x－7y＝0，则等于( )A.B．－C.D．－2．在平面直角坐标系中，作点A(3，4)关于x轴对称的点A′，再将点A′向左平移6个单位长度，得到点B，则点B的坐标为( )A．(4，－3)B．(－4，3)C．(－3，4)D．(－3，－4)3．在比例尺为1:150000的某城市地图上，若量得A、B两所学校的距离是4.2厘米，则A、B两所学校的实际距离是( )A．630米B．6300米C．8400米D．4200米4．已知△ABC∽△DEF，相似比为3:1，且△ABC的面积与△DEF的面积和为20，则△DEF的面积为( )A．5B．2C．15D．185．如图，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是( )A．这种变换是位似变换B．对应边扩大到原来的2倍C．各对应角度数不变D．面积扩大到原来的2倍(第5题) (第6题) (第7题)6．如图，在△ABC中，AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，已知BC＝2a，则DG＋EH＋FI的长是( )A．aB．4aC．3aD．2a7．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)8．如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝4cm，点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，若D、E同时出发，同时停止且停止时△ADE10
与△ABC相似，则经过的时间是( )A.sB.sC.s或sD.s或s(第8题) (第9题)9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，则线段EF的长为( )A．2B.C.D.10．如图①，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle，1780－1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard，1845－1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：如图②，在等腰三角形DEF中，DF＝EF，FG是△DEF的中线，若点Q为△DEF的布洛卡点，FQ＝9，＝，则DQ＋EQ＝( )A．10B.C．6＋6D．7二、填空题(每题3分，共18分)11．平面直角坐标系中，将点A(－1，2)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点A1的坐标为________．12．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC∽△DEF，需要添加的一个条件是____________．(写出一种情况即可)13．如图，有一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB:CD等于________．10
(第13题) (第14题) (第15题) (第16题)14．如图，点D，E是△ABC的边AB，AC上的点，已知F，G，H分别是DE，BE，BC的中点，连结FH，FG，GH，若BD＝8，CE＝6，∠FGH＝90°，则FH＝________．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD均在x轴上，OA＝2，AD＝3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是________________________．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有________个．三、解答题(17题6分，21题10分，22题12分，其余每题8分，共52分)17．已知＝，求的值．10
18.如图，在△ABC中，BA＝BC，过C点作CE⊥BC交∠ABC的平分线BE于点E，连结AE，D是BE上的一点，且∠BAD＝∠CAE.求证：△ABD∽△ACE.19．如图，在直角坐标系中，△ABO三个顶点及点P的坐标分别是O(0，0)，A(4，2)，B(2，4)，P(4，4)，以点P为位似中心，画△DEF与△ABO位似，且相似比为1:2，请在直角坐标系中画出符合条件的△DEF.20．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝5cm，且＝.(1)求证：△AFB∽△FEC；(2)求矩形ABCD的周长．21．有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120cm，高AD＝8010
cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2:5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示，AD交PQ于K，交EH于R.(1)求矩形纸片较长边EH的长；(2)裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．22．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝.(1)当＝＝时，求证△ABC∽△A′B′C′.证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．10
答案一、1．A 2．D 3．B 4．B 5．D6．C 点拨：∵AD＝DE＝EF＝FB，AG＝GH＝HI＝IC，∴DG∥EH∥FI∥BC，∴＝，即DG＝BC；同理可得EH＝BC，FI＝BC；∴DG＋EH＋FI＝BC＋BC＋BC＝BC＝3a.故选C.7．A8．C 点拨：设经过ts△ADE与△ABC相似．∵点D从B点以每秒2cm的速度向点A移动，点E从A点以每秒1cm的速度向点C移动，D、E同时出发，同时停止，∴BD＝2tcm，AE＝tcm.∵AB＝7cm，∴AD＝AB－BD＝(7－2t)cm.分两种情况：①当△ADE∽△ABC时，＝，即＝，解得t＝；②当△AED∽△ABC时，＝，即＝，解得t＝.综上所述，经过s或s时，△ADE与△ABC相似．故选C.9．B 点拨：设EF交AC于O，∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，∴AC⊥EF，AO＝CO.在矩形ABCD中，∠D＝90°，AB∥CD，∴∠FCO＝∠EAO.又∵∠FOC＝∠EOA，∴△FOC≌△EOA，∴FO＝EO.在Rt△ACD中，AC＝＝2，∴CO＝.∵∠FOC＝∠D＝90°，∠FCO＝∠ACD，∴△FOC∽△ADC，∴＝，即＝，∴FO＝.∴EF＝2FO＝2×＝.故选B.10．A 点拨：∵DF＝EF，FG是△DEF的中线，∴DG＝GE，FG⊥DE，∠FDE＝∠FED.10
∵＝，∴设DE＝x，则FG＝x，DG＝x，∴EF＝DF＝＝＝x.∵点Q为△DEF的布洛卡点，∴∠QDF＝∠QED＝∠QFE，且∠FDE＝∠FED，∴∠QDE＝∠QEF，∴△DQE∽△EQF，∴＝＝＝，∴QE＝6，DQ＝4，∴DQ＋EQ＝10.故选A.二、11．(－3，3)12．∠A＝∠D(答案不唯一)13．2:314．5 点拨：∵F，G分别是DE，BE的中点，∴FG＝BD＝4.∵G，H分别是BE，BC的中点，∴GH＝CE＝3，由勾股定理，得FH＝＝＝5.15．(－4，0)或 点拨：如图，连结FC并延长交x轴于点M，由题意可得△MOC∽△MAF，则＝＝，∴＝，解得MO＝4，故M点的坐标为(－4，0)．连结OE交AB于点N，易得△OAN∽△EFN，则＝＝，解得AN＝，故N点坐标为.综上所述，正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是(－4，0)或.16．3 点拨：设AP的长为x，则BP的长为8－x.若AB边上存在点P，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△PAD∽△PBC，则AP:BP＝AD:BC，即x:(8－x)＝3:4，解得10
x＝，经检验，x＝是原方程的解；②若△PAD∽△CBP，则AP:BC＝AD:BP，即x:4＝3:(8－x)，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝2和x＝6都是原方程的解．故满足条件的点P有3个．三、17．解：∵＝，∴设＝＝k，∴a＝2k，b＝9k，∴＝＝＝－.18．证明：∵BA＝BC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠ACB＝90°.又∵CE⊥BC，∴∠ACE＋∠ACB＝90°，∴∠CBE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠ACE.∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.19．解：如图．20．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠AFE＝90°，∴∠CFE＋∠BFA＝90°，∠BFA＋∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠CFE，∴△AFB∽△FEC.(2)解：∵＝，∴设EC＝3tcm，FC＝4tcm，则EF＝DE＝5tcm，∴AB＝CD＝8tcm.又由(1)可得△AFB∽△FEC，10
∴＝，即＝，∴BF＝6tcm，∴AF＝10tcm.在Rt△AEF中，由勾股定理得(10t)2＋(5t)2＝(5)2，∴t＝1(负值已舍去)，∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋BF＋FC)＝2(8t＋6t＋4t)＝2×18＝36(cm)．21．解：(1)设EF＝2xcm，EH＝5xcm.∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝15，∴EH＝15×5＝75(cm)，∴矩形纸片较长边EH的长为75cm.(2)小聪的剪法不正确．理由如下：设正方形的边长为acm，AR＝AD－RD＝80－2×15＝50(cm)，AK＝(50－a)cm，由题意，知△APQ∽△AEH，∴＝，即＝，解得a＝30，与边EH平行的中位线＝×75＝37.5(cm)．∵37.5≠30，∴小聪的剪法不正确．22．解：(1)＝＝；∠A＝∠A′(2)△ABC∽△A′B′C′.理由如下：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝＝.10
同理，＝＝.∵＝，∴＝.∴＝.同理，＝.∴＝，即＝.∴＝.∵＝＝，∴＝＝.∴△DCE∽△D′C′E′.∴∠CED＝∠C′E′D′.∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°，同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°.∴∠ACB＝∠A′C′B′.∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′.10
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