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第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A．5B．6C．7D．82．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是( )A．a2＋b2＝2c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b23．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积是( )A．16B．8C．4D．24．东海上一艘快艇欲驶向正东方向24km远的A处，速度为50km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇距离A处( )A．25kmB．24kmC．7kmD．1km5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则△ABC的面积为( )A．128B．136C．120D．2406．如图，这是用四个面积为24的全等的直角三角形，即Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△CDG和Rt△DAH拼成的“赵爽弦图”．如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为( )A．1B．2C．3D．47．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线上的D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )A.B．3C．1D.11
8．如图，已知Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于( )A．2πB．4πC．8πD．16π9．如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点A沿着侧面爬到上底面与点A相对的点B，已知圆柱体的底面半径为1cm，高为4cm，则蚂蚁爬行的最短路程(π取3)约为( )A．4cmB．4.5cmC．5cmD．6cm10．如图是一个圆柱形的饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的范围是( )A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13二、填空题(每题3分，共24分)11．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝________．12．有下列各组数：①1，2，3；②6，8，10；③0.3，0.4，0.5；④9，40，41.其中是勾股数的有______________________________________________________(填序号)．13．已知三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高等于__________．14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩正上方4000m处，过了15s，飞机距离这个男孩头顶5000m，则飞机平均每小时飞行__________．11
15．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的点P处．若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的边BC的长为____________．16．若直角三角形两条边的长分别为8和15，且第三条边的长为整数，则第三条边的长为________．17．在一根长90cm的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看成圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为__________．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是______________．三、解答题(19，23，24题每题10分，20～22题每题8分，25题12分，共66分)19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．求：(1)AB的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长．11
20．育英中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为30m/min，第二组的步行速度为40m/min，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距1500m.(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角；(2)如果接下来这两组同学以原来的速度同时出发相向而行，多长时间后能相遇？21．暑假期间，小林到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走6km后往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？11
22．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最短长度．23．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；(2)试说明：△ABC的内角和等于180°；(3)若＝，试说明：△ABC是直角三角形．11
24．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙壁OC上，这时梯子的底端B到墙壁OC的距离OB＝0.7m，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点A′时，底端B沿水平地面向外滑动到B′点．(1)当AA′＝0.4m时，线段AA′的长度与线段BB′的长度相等吗？你是怎样知道的？(2)是否存在一个点A′，使AA′＝BB′？若存在，求出点A′的位置；若不存在，说明理由．11
25．如图甲是一个直角三角形ABC，它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．(1)由图乙、图丙，可知①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形．(2)图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________．(3)图乙中①②面积之和为__________．(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？11
答案一、1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B7．A 8.A 9.C 10.A二、11.50 12.②④ 13.14．720km 15.24 16.17 17.150cm18．PB2＋PA2＝2PC2【点拨】如图，连接BQ.因为∠ACB＝90°，AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA＝45°.因为△PCQ是等腰直角三角形，且∠PCQ＝90°，所以PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB，PQ2＝2PC2.所以∠ACB－∠PCB＝∠PCQ－∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ.又因为AC＝BC，PC＝CQ，所以△ACP≌△BCQ(SAS)．所以PA＝BQ，∠CAP＝∠CBQ＝45°.所以∠ABQ＝45°＋45°＝90°.所以PB2＋BQ2＝PQ2.所以PB2＋PA2＝2PC2.三、19.解：(1)因为在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，所以AB2＝AC2＋BC2＝202＋152＝625.所以AB＝25.11
(2)S△ABC＝AC·BC＝×20×15＝150.(3)因为CD是边AB上的高，所以AC·BC＝AB·CD.即×20×15＝×25·CD，解得CD＝12.20．解：(1)因为半小时后，第一组行走的路程为30×30＝900(m)，第二组行走的路程为40×30＝1200(m)，9002＋12002＝15002，而此时两组同学相距1500m，所以两组同学行走的方向成直角．(2)设xmin后两组同学相遇．根据题意，得30x＋40x＝1500.解这个方程，得x＝.即这两组同学若以原来的速度同时出发，相向而行，min后能相遇．21．解：如图，过点B作BD⊥AC于点D.由题易知AD＝6km，BD＝8km.在Rt△ADB中，由勾股定理知AB2＝AD2＋BD2，所以AB＝10km.所以登陆点到埋宝藏点的直线距离为10km.22．解：如图，连接DE，与AC交于点P，连接BP，易知此时EP＋BP最短，且最短长度为DE的长．11
由题易知AD＝AB＝AE＋EB＝3＋1＝4.所以DE2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25.所以DE＝5.即EP＋BP的最短长度为5.【点拨】利用对称法将两点到直线上的一点的最短路程和转化为两点间的距离，用勾股定理求解．23．解：(1)∠A＋∠B<∠C.(2)如图，过点B作MN∥AC，则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．因为∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°(平角的定义)，所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°(等量代换)，即△ABC的内角和等于180°.(3)因为＝，所以ac＝(a＋b＋c)(a－b＋c)＝[(a2＋2ac＋c2)－b2]．所以2ac＝a2＋2ac＋c2－b2.所以a2＋c2＝b2.所以△ABC是直角三角形．24．解：(1)不相等．11
在Rt△AOB中，OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76，所以OA＝2.4m，所以OA′＝OA－AA′＝2.4－0.4＝2(m)．在Rt△A′OB′中，OB′2＝A′B′2－OA′2＝2.52－22＝2.25，所以OB′＝1.5m，所以BB′＝OB′－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)．因为AA′＝0.4m，所以AA′≠BB′.(2)存在．设AA′＝BB′＝xm，则OA′＝OA－AA′＝(2.4－x)m，OB′＝OB＋BB′＝(0.7＋x)m.在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得OA′2＋OB′2＝A′B′2，即(2.4－x)2＋(x＋0.7)2＝2.52，整理，得x2－1.7x＝0.因为x≠0，所以x＝1.7.即当AA′＝1.7m时，AA′＝BB′.【点拨】由方程x2－1.7x＝0，得x2＝1.7x，当x≠0时，方程两边同时除以x，得x＝1.7.25．解：(1)a；b；c；c(2)a2；b2；c2(3)a2＋b2(4)图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．理由如下：由大正方形的边长为a＋b，得大正方形的面积为(a＋b)2，图乙中可把大正方形分成四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a，宽为b的长方形，根据面积相等得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab.由图丙可得(a＋b)2＝c2＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.所以图乙中①②的面积之和与图丙中③的面积相等．由此能得到关于直角三角形三边长的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方．11
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