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第四章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．已知5x＝6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )A．＝B．＝C．＝D．＝2．下列各组图形中有可能不相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则的值是( )A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)5．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是( )A．平移B．旋转C．轴对称D．位似6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE11
＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于( )A．60mB．40mC．30mD．20m7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE，使它与△AOB位似，且相似比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )A．(0，0)，2B．(2，2)，C．(2，2)，2D．(1，1)，8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于( )A．2B．2.4C．2.5D．2.259．如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( )A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：2510．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC，PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500000的地图上测得所居住的城市距A地32cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．12．若＝＝＝k(a＋b＋c≠0)，则k＝________.11
13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．15．如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得到正方形A′B′C′D′，则点C的对应点C′的坐标为________．16．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5m，窗口AB高2m，那么窗口底端B距离墙脚C________m.17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则Sn＝________(用含n的式子表示，n为正整数)．三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．如图，矩形ABCD为一密封的长方体纸盒的纵切面的示意图，AB边上的点E处有一小孔，光线从点E处射入，经纸盒底面上的平面镜反射，恰好从点D处的小孔射出．已知AD＝26cm，AB＝13cm，AE＝6cm.11
(1)求证：△BEF∽△CDF.(2)求CF的长．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．11
22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：11
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．11
答案一、1．B 2．A3．C 点拨：因为a∥b∥c，所以＝＝＝.4．A 5．D6．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴＝，即＝.∴AB＝40m.7．B8．B 点拨：由∠A＝90°，CF⊥BE，AD∥BC，易证△ABE∽△FCB.∴＝.由AE＝×3＝1.5，AB＝2，易得BE＝2.5，∴＝.∴CF＝2.4.9．D10．C 点拨：设AP＝x，则BP＝8－x，当△PAE∽△PBC时，＝，∴AE·PB＝BC·PA，即3(8－x)＝4x，解得x＝.当△PAE∽△CBP时，＝，∴AE·BC＝PA·PB，即3×4＝x(8－x)，解得x＝2或6.故满足条件的点P的个数为3个．二、11.160km 点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为xkm，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.12．2 点拨：∵＝＝＝k，∴＝k，故k＝2.易错提醒：在运用等比性质时，注意分母的和不等于0这个条件．13．S1＝S2 点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，∴BC2＝AC·AB.又∵S1＝BC2，S2＝AC·AD＝AC·AB，∴S1＝S2.11
14．2；1：2；1：615．(2，1)或(0，－1) 点拨：如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，根据图形可得点C′的坐标为(2，1)或(0，－1)．易错提醒：此类题要注意多种可能：位似图形可能位于位似中心的同侧，也可能位于位似中心的两侧，要分情况进行讨论．16．2.5 点拨：由题意得CE＝5m，AB＝2m，DE＝4m.∵AD∥BE，∴＝，∴＝，解得BC＝2.5m，即窗口底端B距离墙脚C2.5m.17．或3 点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4÷4×3＝3.18．× 点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，∴＝.∴S1＝S.同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….又∵S＝×1×＝，∴S1＝S＝×，S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，Sn＝×.三、19.(1)证明：∵FG⊥BC，∠EFG＝∠DFG，∴∠BFE＝∠CFD.又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDF.11
(2)解：设CF＝xcm，则BF＝(26－x)cm，∵AB＝13cm，AE＝6cm，∴BE＝7cm，由(1)得，△BEF∽△CDF，∴＝，即＝，解得x＝16.9，即CF＝16.9cm.20．解：(1)如图．(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.21．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠B＋∠C＝180°，∴∠ADE＝∠DEC.又∵∠AFE＝∠B，∠AFE＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.(2)解：在▱ABCD中，CD＝AB＝8.∵△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，解得DE＝12.∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD.在Rt△AED中，由勾股定理，得AE＝＝6.22．解：由题意得，CD＝DG＝EF＝2米，DF＝52米，FH＝4米．∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°.又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，11
∴＝，＝，即＝，＝，∴＝，＝，∴＝，解得BD＝52米，∴＝，解得AB＝54米．答：建筑物AB的高度为54米．23．解：(1)由题意知AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当QA＝AP时，△QAP是等腰直角三角形，所以6－t＝2t，解得t＝2.(2)四边形QAPC的面积＝S△QAC＋S△APC＝AQ·CD＋AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36(cm2)．在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当＝时，△QAP∽△ABC，则＝，即t＝1.2；②当＝时，△PAQ∽△ABC，则＝，即t＝3.所以当t＝1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.∵∠B＝90°，∴AC＝＝4.∴AE＝CE＝2.∴＝＝.当α＝180°时，如图①，11
易得AC＝4，CE＝2，CD＝4，∴＝＝＝.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴＝仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD.∴＝.由(1)可知AC＝4.∴＝＝.∴＝.∴的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.综上，BD的长为4或.11
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