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第2章测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四个图案分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18°B．24°C．30°D．36°3．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )A.B.C.D.4．如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，以下给出的条件合适的是( )A．AC＝ADB．BC＝ADC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD5．已知一个等腰三角形的两个内角度数之比为14，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A．20°B．120°C．20°或120°D．36°11
6．在△ABC中，AB2＝(a＋b)2，AC2＝(a－b)2，BC2＝4ab，且a＞b＞0，则下列结论中正确的是( )A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．△ABC不一定是直角三角形7．直角三角形两条直角边长分别是5和12，则第三条边上的中线长是( )A．5B．6C．6.5D．128．如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )A．20°B．35°C．40°D．70°9．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积从左往右依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于( )A．3B．4C．5D．610．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连结AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连结PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形．其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(每题3分，共24分)11．请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：______________________．12．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为____________．13．已知实数x，y满足(x－4)2＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(c2－a2－b2)2＋|a－b|＝0，则△ABC11
的形状为____________．15．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．16．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是________．17．如图，在正方形网格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将格内一个空白小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有________种．18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，沿EF折叠后，点C与点O重合，则∠OEC的度数是________．三、解答题(19，20题每题6分，21，22，23题每题8分，24题10分，共46分)19．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．(1)写出该命题的逆命题；(2)该逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．11
20.如图，点E，F在△ABC的边BC上．若AE＝AF，BE＝CF，求证：AB＝AC.21．如图，AB∥CD，EG，FG分别是∠BEF和∠DFE的平分线．求证：△EGF是直角三角形．11
22．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的邻补角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，则：(1)图中有哪些三角形是等腰三角形？为什么？(2)BD，DE，CE之间存在着什么数量关系？并说明理由．23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.11
24．如图，等腰直角三角形DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，连结AC.(1)求证：△FBD≌△ACD；(2)如图，延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF；(3)在(2)的条件下，H是BC边的中点，连结DH，与BE相交于点G.试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论．11
答案一、1.D 2.A3．A 【点拨】利用等积法解答．根据勾股定理求得AB＝15，设点C到AB的距离是x，可列方程×9×12＝×15x，解之即可．4．A 5.C6．C 【点拨】由题意可得AB2＝AC2＋BC2，所以△ABC为直角三角形，AB所对的角为直角，所以∠C＝90°.7．C8．B 【点拨】由题意知△ABC是等腰三角形，因为AD是其底边上的中线，所以AD也是底边上的高线，所以∠ACB＝90°－∠CAD＝70°.又因为CE是∠ACB的平分线，所以∠ACE＝∠ACB＝35°.9．B 【点拨】本题不能直接求出S1，S2，S3，S4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理求出S1＋S2＋S3＋S4.根据“AAS”很容易证明△ABC≌△CDE，所以AB＝CD.又因为CD2＋DE2＝CE2，AB2＝S3，CE2＝3，DE2＝S4，所以S3＋S4＝3.同理可得S1＋S2＝1，所以S1＋S2＋S3＋S4＝1＋3＝4.10．D 【点拨】∵△ABD，△BCE为等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°.在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC(SAS)．∴①正确．∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∵∠BDC＋∠BCD＝∠ABD＝60°，∴∠DMA＝∠BAE＋∠BCD＝∠BDC＋∠BCD＝60°.∴②正确．易证△ABP≌△DBQ(ASA)，11
∴BP＝BQ.又∵∠PBQ＝60°，∴△BPQ为等边三角形．∴③正确．二、11.等边三角形的三个角都相等12．75°或15° 13.2014．等腰直角三角形15．3 【点拨】△OPE≌△OPF，△OPA≌△OPB，△AEP≌△BFP，所以共有3对全等三角形．16. 【点拨】在网格中求三角形的高，应借助三角形的面积求解．以AC，AB，BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1，1，，因此△ABC的面积为2×2－1－1－＝.用勾股定理计算出BC的长为，因此BC边上的高为.17．318．100° 【点拨】连结OB，OC.易得△AOB≌△AOC(SAS)．∴∠ACO＝∠ABO.又∵OD垂直平分AB，∴OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝∠BAC＝25°.∴∠ACO＝25°.在△ABC中，∵∠BAC＝50°，AB＝AC，∴∠ACB＝×(180°－50°)＝65°.∴∠ECO＝∠ACB－∠ACO＝40°.由折叠可知，OE＝EC.∴∠EOC＝∠ECO＝40°.∴∠OEC＝100°.三、19.解：(1)两边上的高相等的三角形是等腰三角形．(2)真命题．已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，且CD＝BE.11
求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BEA＝∠CDA＝90°.又∵∠A＝∠A，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．20．证明：∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE.∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，∴BF＝CE.在△ACE和△ABF中，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴AB＝AC.21．证明：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵EG，FG分别是∠BEF和∠DFE的平分线，∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE，∴∠GEF＋∠GFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°，∴△EGF是直角三角形．22．解：(1)△BDF和△CEF是等腰三角形．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∵DF∥BC，∴∠FBC＝∠DFB，11
∴∠DFB＝∠DBF，∴DB＝DF，∴△BDF是等腰三角形．同理，△CEF也是等腰三角形．(2)BD＝DE＋CE.理由：由(1)知△CEF是等腰三角形，且EC＝EF，∴BD＝DF＝DE＋EF＝DE＋CE.【点拨】“平行线＋角平分线”是等腰三角形中常见的基本图形之一，应注意在其他图形中的发掘与应用．23．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE.又∵DF＝DB，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB.(2)由(1)可知DE＝DC，又∵AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE.∴AC＝AE.∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.【点拨】(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE，再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB.(2)利用(1)中结论证明Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，再将线段AB进行转化．24．(1)证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°.在△FBD和△ACD中，∴△FBD≌△ACD(SAS)．(2)证明：∵BE⊥AC，∴∠BEA＝∠BEC＝90°.∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，∴AE＝CE.∴CE＝AC.由(1)知△FBD≌△ACD，11
∴BF＝AC，∴CE＝BF.(3)解：BG2＝GE2＋CE2.证明：连结CG，∵H是BC边的中点，BD＝CD，∴DH垂直平分BC，∴BG＝CG(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．∵BE⊥AC，∴CG2＝GE2＋CE2，∴BG2＝GE2＋CE2.【点拨】本题综合考查全等三角形的判定与性质，以及通过添加辅助线利用勾股定理解决问题．11
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