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第1章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中是二次函数的是( )A．y＝3x－1B．y＝3x2－1C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝2．对于二次函数y＝3(x－2)2＋1的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝－2C．顶点坐标是(2，1)D．与x轴有两个交点3．抛物线y＝x2－1可由下列哪一个函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到？( )A．y＝(x－1)2＋1B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝(x－1)2－3D．y＝(x＋1)2＋34．二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点个数是( )A．0B．1C．2D．35．若A，B，C为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y26．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是( )12
7．已知函数y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是( )A．－1＜x＜4B．－1＜x＜3C．x＜－1或x＞4D．x＜－1或x＞3 8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )A．6sB．4sC．3sD．2s9．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个12
10．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是( )二、填空题(每题3分，共24分)11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．12．函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________．(填“增大”或“减小”)13．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．14．已知抛物线y＝ax2－4ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－2，0)，则一元二次方程ax2－4ax＋c＝0的根为______________．12
15．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是______________．16．某涵洞的截面是抛物线形，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝－x2，当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O的距离为________m.17．对于二次函数y＝x2－2mx－3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个交点；②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；③若图象向左平移3个单位后过原点，则m＝－1；④如果当x＝4与x＝100时，函数值相等，则当x＝104时，函数值为－3，其中正确说法的序号是________．12
18．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点；(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．12
20．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为xs，△PBQ的面积为ycm2.(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的最大面积．21．如图，二次函数图象与y轴交于点A(0，－6)，与x轴交于C，D两点，顶点坐标为B(2，－8)．若点P是x轴上的一动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．12
22．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，那么水面CD的宽是10米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的表达式；(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．此船能否顺利通过这座拱桥？23．某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元．工厂将该产品进行网络批发，批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系．(1)直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？12
24．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM－AM|最大时点M的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．12
答案一、1.B 2.C3．B 点拨：根据“左加右减，上加下减”，可得B选项正确．4．B 5.D 6.C7．B 点拨：y<0，表示取函数图象在x轴下面的部分，1－(－1)＝2，所以函数图象与x轴的另一个交点为(3，0)，故选B.8．A 9.C10．A 点拨：易知△DEB为等边三角形，∴∠EDB＝60°.又∵EF⊥DE，∴∠EFD＝30°.∴DF＝2DE＝2BD＝2(2－x)．在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF＝＝＝(2－x)，∴y＝×(2－x)×(2－x)＝(x－2)2(0≤x<2)．故选A.二、11.高；(0，15) 12.－1；增大 13.1514．x1＝－2，x2＝6 15.x＜－2或x＞816．9 17.①④18. 点拨：由题意知抛物线m的对称轴为直线x＝－3，可设抛物线m的表达式为y＝(x＋3)2＋h.∵抛物线m经过原点，∴0＝×32＋h，∴h＝－.∴顶点P的坐标为.又∵点Q的坐标为，即，∴点P与点Q关于x轴对称，∴S阴影＝|－3|·＝3×＝.三、19.解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入y＝ax2－4x＋c，得解得解得该二次函数的表达式为y＝x2－4x－6.12
∵y＝x2－4x－6＝(x－2)2－10，∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为(2，－10)．(2)∵点P(m，m)在该函数的图象上，∴m2－4m－6＝m.∴m1＝6，m2＝－1.∴m的值为6或－1.20．解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝(18－2x)cm，BQ＝xcm，∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0＜x≤4)．(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－＋，∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20cm2.21．解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－8.将A(0，－6)的坐标代入得4a－8＝－6，∴a＝.∴y＝(x－2)2－8，即y＝x2－2x－6.(2)作点A关于x轴的对称点E(0，6)，连结BE交x轴于点P，连结PA，此时PA＋PB最小．设直线BE的表达式为y＝kx＋b，则解得∴y＝－7x＋6.当y＝0时，x＝，∴点P的坐标为.22．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2.∵抛物线关于y轴对称，AB＝20米，CD＝10米，∴点B的横坐标为10.设点B(10，n)，则点D(5，n＋3)．12
将B，D两点的坐标分别代入表达式，得解得∴y＝－x2.(2)∵货船经过拱桥时右侧的横坐标为x＝3，∴当x＝3时，y＝－×9＝－.∵点B的纵坐标为－4，又|－4|－＝3.64>3.6，∴当水位在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．23．解：(1)当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；当20＜x≤60且x为整数时，y＝－x＋50；当x＞60且x为整数时，y＝20.(2)设所获利润为w元．当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，∴w最大＝(40－16)×20＝480.当20＜x≤60且x为整数时，y＝－x＋50，∴w＝(y－16)x＝x＝－x2＋34x＝－(x－34)2＋578.∵－＜0，∴当x＝34时，w最大，最大值为578.答：一次性批发34件时，工厂获利最大，最大利润是578元．24．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，∵A(1，0)，B(0，3)，C(－4，0)，∴解得∴经过A，B，C三点的抛物线的表达式为y＝－x2－x＋3.(2)存在．以CA，CB为邻边时，如图，∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，∴BC＝AC＝5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，12
∴BP＝AC＝5，且点P到x轴的距离等于OB，∴点P的坐标为(5，3)；以AB，AC为邻边时，AC≠AB，∴不存在点P使四边形ABPC为菱形；以BA，BC为邻边时，BA≠BC，∴不存在点P使四边形ABCP为菱形．故符合题意的点P的坐标为(5，3)．(3)设直线PA的函数表达式为y＝kx＋m(k≠0)，∵A(1，0)，P(5，3)，∴解得∴直线PA的函数表达式为y＝x－，当点M与点P，A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系知|PM－AM|＜PA，当点M与点P，A在同一直线上时，|PM－AM|＝PA，∴当点M与点P，A在同一直线上时，|PM－AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组得∴当点M的坐标为(1，0)或时，|PM－AM|的值最大，|PM－AM|的最大值为5.12
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