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第3章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是( )A．15°B．60°C．45°D．75°2．如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，连结AD，BC，则α和β的关系是( )A．α＝βB．β＞2αC．β＜2αD．β＝2α3．如图，要拧开一个边长为6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口a至少为( )A．6mmB．12mmC．6mmD．4mm4．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( )A．AD＝ABB．∠BOC＝2∠DC．∠D＋∠BOC＝90°D．∠D＝∠B5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为( )A．60°B．50°C．40°D．20°6．点A，B，C，D分别是⊙O上不同的四点，∠ABC＝65°，则∠ADC＝( )A．65°B．115°C．25°D．65°或115°7．如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳的视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( )10
A．cmB．cmC．cmD．7πcm8．如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形AOB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )A.cm2B.cm2C．1cm2D.cm29．如图，已知点A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC——DO的路线做匀速运动．设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y(度)与t(秒)之间的函数关系最恰当的是( )10．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )A.B．1C．2D．2二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝100°，则∠ACB＝________°.12．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比值是________．13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E.若DE＝3，则BC＝________．14．如图，△ABC是等边三角形，以BC为直径作圆O分别交AB，AC于点D，E，若BC＝1，则DC＝__________.10
15．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，∠AOD＝45°，若CD＝6cm，则AB的长为________．16．如图，将放置于平面直角坐标系中的三角尺AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′.已知∠AOB＝30°，∠B＝90°，AB＝1，则点B′的坐标是__________．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________．18．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连结OB，OC，延长CO交弦AB于点D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为____________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径．求证：∠BAM＝∠CAP.20．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2.(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作△ABC的外接圆⊙O；(2)求△ABC的外接圆⊙O的直径．10
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF.(1)求证：△BFG≌△CDG；10
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．23．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于F.(1)若的长为π，求圆心角∠CBF的度数；(2)在(1)的条件下，求图中阴影部分的面积．(结果保留根号及π)24．如图，⊙O的直径AB＝12cm，有一条定长为8cm的动弦CD在上滑动(点C不与A，B重合，点D也不与A，B重合)，且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CD交AB于点F.(1)求证：AE＝BF；10
(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值；若不是，请说明理由．10
答案一、1.C 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D 7.B8．A 点拨：∵扇形AOB的圆心角为90°，半径为2cm，∴扇形AOB的面积为＝π(cm2)，两个半圆形的面积均为×π×12＝(cm2)．如图，连结OD，BD，DA，易知A，B，D三点共线．易得BD＝OD＝DA＝cm，且两个半圆形内的4个小弓形面积相等．在半圆形OA中，S弓形AD＝(S半圆形OA－S△OAD)＝cm2，∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOB－2S弓形AD＝π－×2×2－2×＝－1(cm2)．9．C 点拨：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐变小；当动点P在上运动时，∠APB不变；当动点P在DO上运动时，∠APB逐渐变大．10．A二、11．50 12． 13．6 14． 15．3cm16． 点拨：在Rt△AOB中，由∠AOB＝30°，易得OA＝2AB＝2.过点B作BD⊥OA于点D，在Rt△ABD中，易得AD＝，BD＝，∴OD＝2－＝，∴点B的坐标是.由三角尺AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，易得点B′的坐标是.17．π－418．5或5 点拨：分情况讨论：如图①，当∠ODB＝90°，即CD⊥AB时，可得AD＝BD，∴CD垂直平分AB，10
∴AC＝BC.又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．易得∠DBO＝30°.由OB＝5，易得BD＝OB＝，∴BC＝AB＝2BD＝5.如图②，当∠DOB＝90°时，可得∠BOC＝90°，又OB＝OC，∴△BOC是等腰直角三角形．∴BC＝OB＝5.三、19．证明：连结BM.∵AP⊥BC，∴∠CAP＝90°－∠C.∵AM为⊙O的直径，∴∠ABM＝90°，∴∠BAM＝90°－∠M.又∵∠M＝∠C，∴∠BAM＝∠CAP.20．解：(1)作图略．(2)作直径AD，连结BD.∵AD是直径，∴∠ABD＝90°.∵∠D＝∠C＝45°，∴AB＝BD＝2.∴AD＝＝＝2，即△ABC的外接圆⊙O的直径为2.21．解：(1)△AB′C′如图所示．(2)根据网格图，可知AB＝＝5.易知线段AB在变换到AB′的过程中，扫过区域为圆心角为90°，半径为5的扇形，其面积S＝π·52＝π.10
22．(1)证明：∵C是的中点，∴＝.∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴＝，∴＝，∴CD＝BF.在△BFG和△CDG中，∵∴△BFG≌△CDG(AAS)．(2)解：连结OF，设⊙O的半径为r，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22.在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r－2)2.由(1)知＝＝，∴＝，∴BD＝CF，易得EF＝CE，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，解得r＝1(舍去)或r＝3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF＝2.23．解：(1)设∠CBF＝n°，∵的长为π，半径R＝BC＝AD＝2，∴＝π，∴n＝60，即∠CBF的度数为60°.10
(2)∵∠CBF＝60°，且四边形ABCD为矩形，∴∠ABF＝30°.在Rt△ABF中，易得AF＝BF＝AD＝1，∴AB＝＝＝.易得S扇形CBF＝＝π，S矩形ABCD＝AD·AB＝2×＝2，S△ABF＝AF·AB＝×1×＝，∴S阴影＝S矩形ABCD－(S扇形CBF＋S△ABF)＝2－＝－π.24．(1)证明：过点O作OH⊥CD于点H，易得H为CD的中点．∵CE⊥CD，DF⊥CD，∴EC∥OH∥FD，易得O为EF的中点，即OE＝OF.又∵OA＝OB，∴AE＝OA－OE＝OB－OF＝BF，即AE＝BF.(2)解：四边形CDFE的面积为定值．证明如下：∵动弦CD在滑动的过程中，条件EC⊥CD，FD⊥CD不变，∴CE∥DF不变．由此可知，四边形CDFE为直角梯形或矩形，易得S四边形CDFE＝OH·CD.连结OC，由勾股定理得OH＝＝＝2(cm)．又∵CD＝8cm，∴S四边形CDFE＝OH·CD＝2×8＝16(cm2)，是常数．综上，四边形CDFE的面积为定值，为16cm2.10
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