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第4章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若＝，则等于( )A．B．C．D．2．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A．1：4B．1：2C．2：1D．4：13．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝( )A．2B．3C．4D．54．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝( )A．2B．C．3D．5．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是( )A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′在同一直线上C．AO：AA′＝1：2D．AB∥A′B′6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于( )A．60mB．40mC．30mD．20m7．如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形与△ABC相似的是( )12
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于( )A．2B．2.4C．2.5D．2.259．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( )A．1B．2C．12－6D．6－610．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连结DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为( )A．1B．2C．3D．4二、填空题(每题3分，共24分)11．已知＝，则＝________.12．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝2，BD＝4，DE＝1.5，则BC的长为__________．13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为________．14．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为________．12
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，在△ACD中，∠ACD＝90°，∠D＝30°，则的值是________．16．如图，身高为1.7m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上．已知河BD的宽度为12m，BE＝3m，则树CD的高度为________．17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则Sn＝____________.(用含n的式子表示)三、解答题(19，21题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．12
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；12
(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两个景观灯的间隔都是10m，在与河岸DE的距离为16m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的这两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．请解答下列问题：12
(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连结DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连结AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．12
答案一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．C6．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴＝，即＝.∴AB＝40m.7．A 8．B9．D 点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD∶AB＝AG∶AC.又∵∠BAC＝∠DAG，∴△ADG∽△ABC.∴∠ADG＝∠B.∴DG∥BC.∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB＝AC＝18，BC＝12，∴BM＝BC＝6.∴AM＝＝12.∵＝，即＝，∴AN＝6.∴MN＝AM－AN＝6.易得四边形GHMN为矩形，∴GH＝MN＝6.∴FH＝GH－GF＝6－6.故选D.10．D 点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴EM是AB边上的中线．∴EM＝AB.∵点D，点N分别是BC，AC的中点，12
∴DN是△ABC的中位线．∴DN＝AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确．∵DN∥AB，∴△CDN∽△CBA.∴＝＝.∴S△CND＝S四边形ABDN.②正确．如图，连结DM，FN，则DM是△ABC的中位线，∴DM＝AC，DM∥AC.∴四边形AMDN是平行四边形．∴∠AMD＝∠AND.易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°，∴∠EMD＝∠DNF.∵FN是AC边上的中线，∴FN＝AC.∴DM＝FN.又∵EM＝DN，∴△DEM≌△FDN.∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.③正确．∵∠MDN＋∠AMD＝180°，∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°.∴DE⊥DF.④正确．故选D.二、11． 点拨：∵＝，∴设a＝13x，b＝7x，则＝＝.12．4.5 13．S1＝S2 14．(2，1)15. 16．5.1m 17．或312
18.× 点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，∴＝.∴S1＝S.同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….又∵S＝×1×＝，∴S1＝S＝×，S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，Sn＝×.三、19．解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.20．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．(3)S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4.21．(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠ECF.12
又∵∠AED＝∠CEF，且DE＝FE，∴△ADE≌△CFE.(2)解：方法一：∵AB∥FC，∴△GBD∽△GCF.∴＝.∴＝.∴CF＝3.由(1)得△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋1＝4.方法二：如图，取BC的中点H，连结EH.∵△ADE≌△CFE，∴AE＝CE.∴EH是△ABC的中位线．∴EH∥AB，且EH＝AB.∴△GBD∽△GHE.∴＝.∴＝.∴EH＝2.∴AB＝2EH＝4.22．解：由题意可得DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.所以＝，即＝.因为AD＝16m，BC＝50m，DE＝20m，所以＝.所以DB＝24m.所以这条河的宽度为24m.23．解：(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF.所以12－2t＝4t，解得t＝2.所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．12
(2)根据题意，可分为两种情况：①若△EFC∽△ACD，则＝，所以＝，解得t＝3，即当t＝3时，△EFC∽△ACD.②若△FEC∽△ACD，则＝，所以＝，解得t＝1.2，即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．24．(1)证明：因为AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF，所以△ADE≌△DCF. (2)证明：因为四边形AEHG是正方形，所以∠AEH＝90°.所以∠QEC＋∠AED＝90°.又因为∠AED＋∠EAD＝90°，所以∠QEC＝∠EAD.因为∠C＝∠ADE＝90°，所以△ECQ∽△ADE.所以＝.因为E是CD的中点，所以EC＝DE＝CD＝AD.所以＝.因为DE＝CF，所以＝＝.即Q是CF的中点．(3)解：S1＋S2＝S3成立．理由如下：因为△ECQ∽△ADE，所以＝.所以＝.因为∠C＝∠AEQ＝90°，所以△ECQ∽△AEQ.所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.所以＝，＝.12
所以＋＝＋＝.在Rt△AEQ中，由勾股定理，得EQ2＋AE2＝AQ2，所以＋＝1，即S1＋S2＝S3.12
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