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第3章达标检测卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列各组数中，为勾股数的是( )A．1，2，3B．3，4，5C．1.5，2，2.5D．5，10，122．在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为( )A．7B．8C．9D．103．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为( )厘米A．1B．2C．3D．44．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝2，b＝3，c＝4B．a＝3，b＝4，c＝5C．a＝4，b＝5，c＝6D．a＝7，b＝8，c＝95．若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足a2－6a＋9＋|b－4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为( )A．25B．7C．25或7D．25或166．两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为( )A．(a＋b)2＝c2B．(a－b)2＝c2C．a2＋b2＝c2D．a2－b2＝c211
7．如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，且AB＝13，BC＝15，AC＝14，则点O到边AB的距离为( )A．2B．3C．4D．58．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2＋CF2的值为( )A．36B．9C．6D．18二、填空题(每题2分，共20分)9．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝________．10．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝________．11．在△ABC中，∠C＝90°，c＝2，则a2＋b2＋c2＝________．12．斜边上的中线长为5的等腰直角三角形的面积为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若∠A＝32°，则∠BCD＝________°.14．如图，已知长方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为________．15．△ABC为直角三角形，分别以三边为一边向外作三个正方形，且S1＝7，S2＝2，则S3＝________．16．如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S1＝5，S2＝3，则S3＝________．11
17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰直角△ABF，等腰直角△BEC和等腰直角△ADC，记△ABF、△BEC、△ADC的面积分别是S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是________．18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是8cm2、10cm2、14cm2，则正方形D的面积是________cm2.三、解答题(19～21题每题6分，22～23题每题7分，24～26题每题8分，共56分)19．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，试说明：AC⊥CD.20．某中学有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝16m，BC＝25m，CD＝15m，AD＝12m．若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？21．在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．11
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC＋AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝24，AM＝AC，BN＝BC，求MN的长．24．△ABC的三边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)．(1)判断三角形的形状；(2)若以边b为直径的半圆形面积为2π，求△ABC的面积；11
(3)若以边a、b为直径的半圆形面积分别为p、q，求以边c为直径的半圆形面积．(用p、q表示)25．如图，在吴中区上方山动物园里有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到池塘A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬至C再沿CA走到离树24m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知猴子甲所经过的路程比猴子乙所经过的路程多2m，设BD为xm.(1)请用含有x的整式表示线段AD的长为________m；(2)求这棵树高多少米．11
26．如图是用硬纸板做成的三个直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；(2)假设题图中的两直角边长为a，b的直角三角形有若干个，你能运用它们拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．(无需证明)11
答案一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C7．C 【点拨】过B作BD⊥AC于D，则∠ADB＝∠CDB＝90°，设AD＝x，则CD＝14－x，∵在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝132－x2，在Rt△BCD中，BD2＝CB2－CD2＝152－(14－x)2，∴132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5，∴AD＝5，∴BD2＝AB2－AD2＝132－52＝144，∴BD＝12，∵点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，∴点O到△ABC的三边的距离相等，设点O到边AB的距离为h，则AC×BD＝(AB＋BC＋AC)×h，∴×14×12＝×(13＋15＋14)×h，解得h＝4，∴点O到边AB的距离为4.8．A 【点拨】如图，∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1＝∠2＝∠ACB，∠3＝∠4＝∠ACD，∴∠2＋∠3＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，∴EM＝CM，CM＝MF，∵EM＝3，∴EF＝3＋3＝6，11
在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2＝62＝36.二、9.8 10.5 11.8 12.25 13.3214.cm 15.5 16.217.S1＝S2＋S3【点拨】在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形，∴S1＝AB2，S2＝EC2＝BC2，S3＝AD2＝AC2，∴S2＋S3＝BC2＋AC2＝AB2，∴S2＋S3＝S1.18．17 【点拨】如图，根据勾股定理可知，S正方形1＋S正方形2＝S大正方形＝49cm2，S正方形C＋S正方形D＝S正方形2，S正方形A＋S正方形B＝S正方形1，∴S大正方形＝S正方形C＋S正方形D＋S正方形A＋S正方形B＝49cm2.∴正方形D的面积＝49－8－10－14＝17(cm2)．三、19.解：在△ABC中，AB⊥BC，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5，∵在△ACD中，AC2＋CD2＝5＋4＝9，AD2＝9，∴AC2＋CD2＝AD2，∴根据勾股定理的逆定理得，△ACD为直角三角形，11
∴AC⊥CD.20．解：如图，连接BD.∵∠A＝90°，AB＝16m，DA＝12m，∴DB2＝162＋122＝400(m2)，∵BC＝25m，CD＝15m，∴BD2＋DC2＝BC2，∴△DBC是直角三角形，∴S△ABD＋S△DBC＝×12×16＋×15×20＝246(m2)，∴需投入100×246＝24600(元)．21．解：在Rt△ACD中，AC2＝AD2－CD2＝132－122＝25cm2，在△ABC中，∵AB2＋BC2＝9＋16＝25(cm2)，AC2＝25cm2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.∴四边形ABCD的面积＝AB·BC＋AC·CD＝×3×4＋×5×12＝36(cm2)．22．解：设AD＝x，则AC＝32－x，∵AD⊥BC于点D，∴△ADC和△ADB都是直角三角形，∵CD＝16，∴x2＋162＝(32－x)2，解得x＝12，∴AD＝12，在直角三角形ABD中，AB2＝52＋122＝169.∴AB＝13.23．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，∴BC2＝252－242＝49.∴BC＝7.11
又∵AC＝24，BC＝7，AM＝AC，BN＝BC，∴AM＝24，BN＝7，∴MN＝AM＋BN－AB＝24＋7－25＝6.24．解：(1)△ABC是直角三角形，理由如下：∵在△ABC中，三条边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，∴a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝(n2＋1)2，c2＝(n2＋1)2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.(2)∵以边b为直径的半圆形面积为2π，则π＝2π，解得b＝4，∴2n＝4，∴n＝2，∴a＝3，∴△ABC的面积＝ab＝×3×4＝6.(3)∵以边a、b为直径的半圆形面积分别为p、q，∴p＝π＝，q＝π()2＝，∵△ABC是直角三角形，∴a2＋b2＝c2，∴以边c为直径的半圆形面积＝π＝＝(a2＋b2)＝＋＝p＋q.25．解：(1)(27－x)(2)∵∠C＝90°，∴AD2＝AC2＋DC2.∴(27－x)2＝(x＋5)2＋242.∴x＝2，∴CD＝5＋2＝7(m)．∴这棵树高7m.26．解：(1)如图所示，是梯形；11
我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝(a＋b)(a＋b)．我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即ab＋ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.(2)画边长为(a＋b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．11
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