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第二十二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数是二次函数的是( )A．y＝3x2＋9B．y＝mx2＋2x－3C．y＝2x2＋－2D．y＝2．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )A．(3，4)B．(－3，4)C．(3，－4)D．(2，4)3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( )A．－3B．－1C．2D．34．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A．y＝(x－1)2＋1B．y＝(x＋1)2＋1C．y＝2(x－1)2＋1D．y＝2(x＋1)2＋15．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )A．－1≤x≤3B．－3≤x≤1C．x≥－3D．x≤－1或x≥36．已知二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论不一定成立的是( )A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．当x＜m时，y随x的增大而减小7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是( )13
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x－10234y50－4－30下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上的两点，则x1＜x2.其中正确的个数是( )A．2B．3C．4D．59．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A．10mB．15mC．20mD．22.5m10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③4a＋b＝0；④4a－2b＋c＞0.其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．1二、填空题(每题3分，共30分)11．二次函数y＝x2－6x＋21的图象的开口向________，顶点坐标为________．12．二次函数y1＝mx2，y2＝nx2的图象如图所示，则m________n(填“＞”或“＜”)．13．将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是________cm2.14．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．15．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．13
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．17．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．18．如图，将抛物线y＝－x2平移得到抛物线m.抛物线m经过点A(6，0)和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝－x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．19．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为________．20．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的有________个．三、解答题(21题8分，22～25题每题10分，26题12分，共60分)21．如图是抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象，其中A(1，0)，B(0，3)．(1)求抛物线的解析式；13
(2)结合图象，写出当y＜3时x的取值范围．22．已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．(1)求证：4c＝3b2；(2)若该函数图象的对称轴为直线x＝1，试求该二次函数的最小值．13
23．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，若OA＝1，OB＝3，抛物线的对称轴为直线x＝1.(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．24．如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式．(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．13
25．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1(元)与x(m2)的函数解析式为y1＝其图象如图所示；栽花所需费用y2(元)与x(m2)的函数解析式为y2＝－0.01x2－20x＋30000(0≤x≤1000)．(1)请直接写出k1，k2和b的值；(2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W与x的函数解析式，求出W的最大值；(3)若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出W的最小值．13
26．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM－AM|最大时点M的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．13
答案一、1.A 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 7．C 8.B 9.B 10．B 点拨：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，故①正确；由图象知，抛物线的对称轴为直线x＝2，∴－＝2，∴4a＋b＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a＋b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝－2时，y＜0，∴4a－2b＋c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选B.二、11.上；(6，3) 12．＞13．12.5 点拨：设其中一段铁丝的长度为xcm，两个正方形的面积之和为Scm2，则另一段铁丝的长度为(20－x)cm，∴S＝x2＋(20－x)2＝(x－10)2＋12.5，∴当x＝10时，S有最小值，最小值为12.5.14．1515．x1＝－1，x2＝3点拨：由题意，得a＋2a＋c＝0，∴c＝－3a，∴ax2－2ax－3a＝0.∵a≠0，∴x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.13
16．－1＜x＜3 17．3618. 点拨：连接OP，OQ，设平移后的抛物线m的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c，将点A(6，0)和原点O(0，0)的坐标分别代入，可得抛物线m的函数解析式为y＝－x2＋3x，所以P，Q，所以点P，Q关于x轴对称，所以S阴影部分＝S△POQ＝＝.19．－420．2 点拨：抛物线开口向下，顶点坐标为(－1，4)，故二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4；当x＝2时，对应的点在x轴下方，故4a＋2b＋c＜0；二次函数的图象与x轴的交点为(1，0)，(－3，0)，则抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将点(0，3)的坐标代入可得a＝－1，令－(x＋3)(x－1)＝1，化简可得x2＋2x－2＝0，它的两根之和为－2；当y≤3时，x的取值范围为x≤－2或x≥0.综上所述，结论①②正确．三、21.解：(1)∵函数的图象过A(1，0)，B(0，3)，∴解得故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，且当x＝0时，y＝3，∴当x＝－2时，y＝3，故当y＜3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.22．(1)证明：由题意，知m，－3m是一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c，∴b＝2m，c＝3m2.∴4c＝12m2，3b2＝12m2.∴4c＝3b2.(2)解：由题意得－＝1，∴b＝－2，由(1)得c＝b2＝×(－2)2＝3.∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.∴该二次函数的最小值为－4.13
23．解：(1)根据题意，得点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(0，－3)．又∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴解得故抛物线的解析式是y＝x2－2x－3.(2)存在．如图，设抛物线与x轴的另一个交点是C，由抛物线的对称性可知点A与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为点P.∵点A的坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点C的坐标为(3，0)．设直线BC的解析式是y＝kx－3，将点C(3，0)的坐标代入，得3k－3＝0，解得k＝1.∴直线BC的解析式是y＝x－3.当x＝1时，y＝－2，∴点P的坐标为(1，－2)．24．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m.∴m＝－1.∴二次函数的解析式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3.∴点C的坐标为(0，3)．又∵抛物线的对称轴为直线x＝－2，13
点B，C关于抛物线的对称轴对称，∴点B的坐标为(－4，3)．∵直线y＝kx＋b经过点A，B，∴解得∴一次函数的解析式为y＝－x－1.(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1.25．解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6000.(2)当0≤x＜600时，W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30000)＝－0.01x2＋10x＋30000＝－0.01(x－500)2＋32500.∵－0.01＜0，∴当x＝500时，W取得最大值，最大值为32500.当600≤x≤1000时，W＝20x＋6000＋(－0.01x2－20x＋30000)＝－0.01x2＋36000.∵－0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小．∴当x＝600时，W取得最大值，为32400.∵32400＜32500，∴W的最大值为32500.(3)由题意，得1000－x≥100，解得x≤900.又x≥700，∴700≤x≤900.∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，W取得最小值，最小值为27900.26．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题易知A的坐标为(1，0)，B的坐标为(0，3)，C的坐标为(－4，0)，13
∴解得∴经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝－x2－x＋3.(2)存在．以CA，CB为邻边时，如图，∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，∴BC＝AC＝5.当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP＝AC＝5，且点P到x轴的距离等于OB的长，∴点P的坐标为(5，3)；以AB，AC为邻边时，AC≠AB.∴不存在点P使四边形ABPC为菱形；以BA，BC为邻边时，BA≠BC.∴不存在点P使四边形ABCP为菱形．故符合题意的点P的坐标为(5，3)．(3)设直线PA的函数解析式为y＝kx＋m(k≠0)，∵A(1，0)，P(5，3)，∴解得∴直线PA的函数解析式为y＝x－.当点M与点P，A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系知|PM－AM|＜PA，当点M与点P，A在同一直线上时，|PM－AM|＝PA，∴当点M与点P，A在同一直线上时，|PM－AM|的值最大，即点M为直线PA13
与抛物线的交点，解方程组得∴当点M的坐标为(1，0)或(－5，－)时，|PM－AM|的值最大，|PM－AM|的最大值为5.13
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