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第二十一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列式子是一元二次方程的是( )A．3x2－6x＋2B．x2－y＋1＝0C．x2＝0D.＋x＝22．若方程2x2＋mx＝4x＋2不含x的一次项，则m＝( )A．1B．2C．3D．43．一元二次方程x2－2x＝0的根是( )A．x1＝0，x2＝－2B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2D．x1＝0，x2＝24．用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是( )A．(x－3)2＝17B．(x－3)2＝14C．(x－6)2＝44D．(x－3)2＝15．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为( )A．4B．2C．1D．－46．关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实根分别为x1，x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为( )A.B.C.D．07．扬帆中学有一块长30m、宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为( )A．(30－x)(20－x)＝×20×30B．(30－2x)(20－x)＝×20×30C．30x＋2×20x＝×20×30D．(30－2x)(20－x)＝×20×309
8．已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为( )A．7B．10C．11D．10或119．一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )A．48B．24C．24或40D．48或8010．若关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝mx＋m的图象不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题(每题3分，共24分)11．若关于x的方程(m－1)x|m＋1|＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值为________．12．一元二次方程(3x－1)(2x＋4)＝1化成一般形式为__________________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．13．已知－3是关于x的一元二次方程ax2－2x＋3＝0的一个解，则此方程的另一个解为________．14．若关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根，则k的取值范围是____________．15．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是____________．16．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值为________．17．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．18．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出下面三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x＋x＜a2＋b2.则正确结论的序号是________．三、解答题(19题16分，25题10分，其余每题8分，共66分)9
19．用适当的方法解下列方程：(1)4(x－1)2－9＝0；(2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0；(3)x2－x－＝0;(4)y2－2y＝5.20．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程＝4的解相同，求：(1)k的值；(2)方程x2＋kx－2＝0的另一个解．21．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？9
22．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．23．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x＋x－x1x2＝16，求a的值．9
24．先阅读下面的材料，再解答问题．解方程：x4－5x2＋4＝0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到________的目的，体现了数学中的转化思想．(2)解方程：(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0.25．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．(1)该小区每月可收取物管费90000元，该小区共有多少套80平方米的住宅？9
(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值． 9
答案一、1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.A7．D 8.D9．B 【点拨】原方程化为(x－5)(x－3)＝0，∴x1＝5，x2＝3.∵菱形的一条对角线长为8，∴菱形的边长为5.∴菱形的另一条对角线长为2×＝6.∴菱形的面积为×6×8＝24.10．A二、11.－3 12.6x2＋10x－5＝0；6；1013．1 14.k＞ 15.4或－116．3 17.24 18.①②三、19.解：(1)原方程变形为(x－1)2＝，开平方，得x－1＝±.∴x1＝，x2＝－.(2)原方程变形为(x＋2)2－[2(x－3)]2＝0，因式分解得[(x＋2)＋2(x－3)]·[(x＋2)－2(x－3)]＝0，即(3x－4)(－x＋8)＝0，∴3x－4＝0或－x＋8＝0.∴x1＝，x2＝8.(3)方程中a＝1，b＝－，c＝－.∴Δ＝b2－4ac＝(－)2－4×1×＝12.∴x＝，即x1＝＝，x2＝＝－.(4)配方，得y2－2y＋1＝5＋1，即y2－2y＋1＝6，则(y－1)2＝6.∴y－1＝±.∴y1＝1＋，y2＝1－.9
20．解：(1)解＝4，得x＝2.经检验，x＝2是分式方程的解．∴x＝2是x2＋kx－2＝0的一个解．∴4＋2k－2＝0，解得k＝－1.(2)由(1)知方程为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1.∴方程x2＋kx－2＝0的另一个解为x＝－1.21．(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0.∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．22．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得400(1－x)2＝361，解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：4月份该公司的生产成本约为342.95万元．23．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)>0，解得a<3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)由根与系数的关系知x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2.∵x＋x－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16，9
解得a1＝－1，a2＝6.∵a<3，∴a＝－1.24．解：(1)换元；降次(2)设x2＋x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，解得y1＝6，y2＝－2.由x2＋x＝6，解得x1＝－3，x2＝2；由x2＋x＝－2，得方程x2＋x＋2＝0，Δ＝b2－4ac＝1－4×2＝－7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1＝－3，x2＝2.25．解：(1)设该小区共有x套80平方米的住宅，则50平方米的住宅有2x套．由题意得2(50×2x＋80x)＝90000，解得x＝250.答：该小区共有250套80平方米的住宅．(2)参加活动一：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100元，有250×2×40%＝200(户)参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160元，有250×20%＝50(户)参加．参加活动二：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100元，有200(1＋2a%)户参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160元，有50(1＋6a%)户参加．由题意得100·200(1＋2a%)＋160·50(1＋6a%)＝[200(1＋2a%)×100＋50(1＋6a%)×160].令t＝a%，化简得t(2t－1)＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝.∴a＝50.9
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