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人教A版高中数学必修一第三章:《1.函数与方程》ppt课件

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第三章:函数的应用第一节:函数与方程,要点梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x&isin;D),把使_______成立的实数x叫做函数y=f(x)(x&isin;D)的零点.f(x)=0基础知识自主学习,(2)几个等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与_____有交点函数y=f(x)有_______.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_________________,那么函数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c&isin;(a,b),使得_________,这个____也就是f(x)=0的根.f(a)&middot;f(b)&lt;0(a,b)f(c)=0cx轴零点,2.二次函数y=ax2+bx+c(a&gt;0)的图象与零点的关系&Delta;&gt;0&Delta;=0&Delta;&lt;0二次函数y=ax2+bx+c(a&gt;0)的图象与x轴的交点__________________________无交点零点个数______________(x1,0),(x2,0)(x1,0)无一个两个,3.二分法(1)二分法的定义对于在区间[a,b]上连续不断且_____________的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证______________,给定精确度;第二步,求区间(a,b)的中点x1;f(a)&middot;f(b)&lt;0一分为二零点f(a)&middot;f(b)&lt;0,第三步,计算_______:①若_______,则x1就是函数的零点;②若_____________,则令b=x1(此时零点x0&isin;(a,x1));③若______________,则令a=x1(此时零点x0&isin;(x1,b));第四步,判断是否达到精确度:即若|a-b|&lt;,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.f(x1)f(a)&middot;f(x1)&lt;0f(x1)&middot;f(b)&lt;0f(x1)=0,基础自测1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的零点是()A.0,2B.0,C.0,D.2,解析由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,&there4;g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).令g(x)=0,得x=0,x=&there4;g(x)的零点为0,C,2.函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a的取值范围是()A.B.a&le;1C.D.解析f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则f(-1)&middot;f(1)&le;0,即D,3.函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是()解析图B不存在包含公共点的闭区间[a,b]使函数f(a)&middot;f(b)&lt;0.B,4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=mx2-3x+6D.f(x)=ex+3x-6解析对选项D,∵f(1)=e-3&lt;0,f(2)=e2&gt;0,&there4;f(1)f(2)&lt;0.D,5.设函数则函数f(x)-的零点是__________.解析当x&ge;1时,当x&lt;1时,(舍去大于1的根).&there4;的零点为,题型一零点的判断【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x2-3x-18,x&isin;[1,8];(2)f(x)=log2(x+2)-x,x&isin;[1,3].第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点,第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.思维启迪题型分类深度剖析,解(1)方法一∵f(1)=12-3&times;1-18=-20&lt;0,f(8)=82-3&times;8-18=22&gt;0,&there4;f(1)&middot;f(8)&lt;0,故f(x)=x2-3x-18,x&isin;[1,8]存在零点.方法二令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x&isin;[1,8].&there4;(x-6)(x+3)=0,&there4;x=6&isin;[1,8],x=-3[1,8],&there4;f(x)=x2-3x-18,x&isin;[1,8]有零点.,(2)方法一∵f(1)=log23-1&gt;log22-1=0,f(3)=log25-3<log28-3=0,∴f(1)·f(3)<0,故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.方法二设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象,,从图象中可以看出当1≤x≤3时,两图象有一个交点,因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.值得说明的是,零点存在性定理是充分条件,而并非是必要条件.探究提高,知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x3+1;(2)x∈(0,1).解(1)∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0,即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,∴f(x)=x3+1有零点-1.(2)方法一令f(x)=0,∴x=±1,而±1(0,1),∴x∈(0,1)不存在零点.,方法二令y=x,在同一平面直角坐标系中,作出它们的图象,从图中可以看出当0<x<1时,两图象没有交点.故x∈(0,1)没有零点.,题型二函数零点个数的判断【例2】求函数y=lnx+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.思维启迪,解在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象,由图可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.若采用基本作图法,画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.探究提高,知能迁移2已知函数(a>1),判断f(x)=0的根的个数.解设f1(x)=ax(a&gt;1),f2(x)=则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中,作出函数f1(x)=ax(a&gt;1)与f2(x)=的图象(如图所示).两函数图象有且只有一个交点,即方程f(x)=0有且只有一个根.,题型三零点性质的应用【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x&gt;0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.(1)可结合图象也可解方程求之.(2)利用图象求解.思维启迪,解(1)方法一∵等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是[2e,+&infin;),4分因而只需m&ge;2e,则g(x)=m就有零点.6分方法二作出的图象如图:4分可知若使g(x)=m有零点,则只需m&ge;2e.6分,方法三解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.此方程有大于零的根,4分等价于故m&ge;2e.6分(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,,作出(x&gt;0)的图象.∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.10分故当m-1+e2&gt;2e,即m&gt;-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.&there4;m的取值范围是(-e2+2e+1,+&infin;).12分,此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求参数的范围,一般采用数形结合法求解.探究提高,知能迁移3是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.解∵&Delta;=(3a-2)2-4(a-1)&gt;0&there4;若实数a满足条件,则只需f(-1)&middot;f(3)&le;0即可.f(-1)&middot;f(3)=(1-3a+2+a-1)&middot;(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)&le;0.所以a&le;或a&ge;1.,检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a&ne;1.(2)当f(3)=0时,a=解之得x=或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a&ne;综上所述,a&lt;或a&gt;1.,1.函数零点的判定常用的方法有:①零点存在性定理;②数形结合;③解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地&ldquo;取中点&rdquo;来逐步缩小零点所在的范围,当达到一定的精确度要求时,所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.方法与技巧思想方法感悟提高,1.对于函数y=f(x)(x&isin;D),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零点.(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.失误与防范,2.对函数零点存在的判断中,必须强调:(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(a)&middot;f(b)&lt;0;(3)在(a,b)内存在零点.事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.,一、选择题1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1]B.[1,2]C.[-2,-1]D.[-1,0]解析∵f(-1)=3-1-(-1)2=f(0)=30-02=1&gt;0,&there4;f(-1)&middot;f(0)&lt;0,&there4;有零点的区间是[-1,0].D定时检测,2.(2009&middot;天津理,4)设函数(x&gt;0),则y=f(x)()A.在区间(1,e)内均有零点B.在区间(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点,解析因为因此f(x)在内无零点.因此f(x)在(1,e)内有零点.答案D,3.(2009&middot;福建文,11)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是()A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.解析∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则,又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=ex-1零点为x=0;零点为答案A,4.方程|x2-2x|=a2+1(a&isin;R+)的解的个数是()A.1B.2C.3D.4解析∵a&isin;R+,&there4;a2+1&gt;1.而y=|x2-2x|的图象如图,&there4;y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.&there4;方程有两解.B,5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根,则k的取值范围是()A.B.C.D.解析本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.,如图,作出函数y=|x|&middot;(x-1)的图象,由图象知当k&isin;时,函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的交点,即方程有3个实根.答案A,6.设f(x)=x3+bx+c(b&gt;0)(-1&le;x&le;1),且则方程f(x)=0在[-1,1]内()A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析∵f(x)=x3+bx+c(b&gt;0),&there4;f&prime;(x)=3x2+b&gt;0,&there4;f(x)在[-1,1]上为增函数,又∵&there4;f(x)在内存在唯一零点.C,二、填空题7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.解析&there4;g(x)=-6x2-5x-1的零点为,8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)&gt;0的解集是________________.解析∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3.&there4;-2,3是方程x2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系知&there4;f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)&gt;0,即-(4x2+2x-6)&gt;02x2+x-3&lt;0,解集为,9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0①有三个实根;②当x&lt;-1时,恰有一实根(有一实根且仅有一实根);③当-1<x<0时,恰有一实根;④当0<x<1时,恰有一实根;⑤当x>1时,恰有一实根.则正确结论的编号为___________.,解析∵f(-2)=-2&times;(-3)&times;(-1)+0.01=-5.99&lt;0,f(-1)=0.01&gt;0,即f(-2)&middot;f(-1)&lt;0,&there4;在(-2,-1)内有一个实根.由图中知:方程f(x)=0在(-&infin;,-1)上,只有一个实根,所以②正确.又∵f(0)=0.01&gt;0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数根,所以③不正确.又∵f(0.5)=0.5&times;(-0.5)&times;1.5+0.01=-0.365&lt;0,f(1)=0.01&gt;0,即f(0.5)f(1)&lt;0,所以f(x)=0.在(0.5,1)上必有一个实根,且f(0)&middot;f(0.5)&lt;0,,&there4;f(x)=0在(0,0.5)上也有一个实根.&there4;f(x)=0在(0,1)上有两个实根,④不正确.由f(1)&gt;0且f(x)在(1,+&infin;)上是增函数,&there4;f(x)&gt;0,f(x)=0在(1,+&infin;)上没有实根.&there4;⑤不正确.并且由此可知①也正确.答案①②,三、解答题10.已知函数f(x)=4x+m&middot;2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.解∵f(x)=4x+m&middot;2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m&middot;2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t&gt;0),则t2+mt+1=0.当&Delta;=0,即m2-4=0,&there4;m=-2时,t=1;m=2时,t=-1不合题意,舍去,&there4;2x=1,x=0符合题意.,当&Delta;&gt;0,即m&gt;2或m&lt;-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.&there4;这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.,11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.解设f(x)=x2+(m-1)x+1,x&isin;[0,2],①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解,∵f(0)=1&gt;0,则应有f(2)&le;0,又∵f(2)=22+(m-1)&times;2+1,&there4;m&le;,②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则由①②可知m&le;-1.,12.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.解(1)当a=0时,f(x)=2x-3.令2x-3=0,得x=[-1,1]&there4;f(x)在[-1,1]上无零点,故a&ne;0.(2)当a&gt;0时,f(x)=2ax2+2x-3-a的对称轴为,①当&le;-1,即0<a≤时,须使∴a的解集为.②当-1<<0,即a>时,须使解得a&ge;1,&there4;a的取值范围是[1,+&infin;).,(3)当a&lt;0时,①当0&lt;&le;1,即a&le;时,须有又a&le;&there4;a的取值范围是,②当&gt;1,即</a≤时,须使∴a的解集为.②当-1<<0,即a></x<0时,恰有一实根;④当0<x<1时,恰有一实根;⑤当x></log28-3=0,∴f(1)·f(3)<0,故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.方法二设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象,,从图象中可以看出当1≤x≤3时,两图象有一个交点,因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.值得说明的是,零点存在性定理是充分条件,而并非是必要条件.探究提高,知能迁移1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x3+1;(2)x∈(0,1).解(1)∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0,即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,∴f(x)=x3+1有零点-1.(2)方法一令f(x)=0,∴x=±1,而±1(0,1),∴x∈(0,1)不存在零点.,方法二令y=x,在同一平面直角坐标系中,作出它们的图象,从图中可以看出当0<x<1时,两图象没有交点.故x∈(0,1)没有零点.,题型二函数零点个数的判断【例2】求函数y=lnx+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.思维启迪,解在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图象,由图可知两图象只有一个交点,故函数y=lnx+2x-6只有一个零点.若采用基本作图法,画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.探究提高,知能迁移2已知函数(a> 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