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初中数学9年级上册同步培优专题题库(北师大版)专题2.10第2章一元二次方程单元测试(培优卷)姓名:__________________班级:______________得分:_________________注意事项:本试卷满分120分,试题共25题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019秋•连城县期中)已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下列对α值估计正确的是( )A.2<α<3B.1.5<α<2C.1<α<1.5D.0<α<1【分析】先求出方程的解,再估算出5的范围,求出1+52的范围,即可得出选项.【解析】解方程x2﹣x﹣1=0得:x1=1+52,x2=1-52,即a=1+52,∵2<5<3,∴3<1+5<4,∴32<1+52<2,即1.5<a<2,故选:B.2.(2019秋•定州市期中)若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019=0的一个解,则1+a+b的值是( )A.2017B.2018C.2019D.2020【分析】根据x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019=0的一个解,可以得到a+b的值,从而可以求得所求式子的值.【解析】∵x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019=0的一个解,∴a+b﹣2019=0,∴a+b=2019,∴1+a+b=1+2019=2020,第13页/共13页
故选:D.3.(2019秋•覃塘区期中)若一个直角三角形的两条直角边长之和为14,面积为24,则其斜边的长是( )A.27B.42C.8D.10【分析】设一边长为x,然后表示出另一边,然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可;然后再根据勾股定理求得斜边长.【解析】设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边为(14﹣x),根据题意得:12x(14﹣x)=24,整理得:x2﹣14x+48=0.解得x1=6,x2=8,所以斜边长为:62+82=10.故选:D.4.(2019秋•思明区校级期中)若m、n(m<n)是关于x的一元二次方程2﹣(x﹣3)(x﹣a)=0的两个根,且3<a,则m、n,3,a的大小关系是( )A.m<3<a<nB.3<m<n<aC.m<3<n<aD.3<a<m<n【分析】由2﹣(x﹣3)(x﹣a)=0可以将(m,2),(n,2)看成直线y1=2与抛物线y2=(x﹣3)(x﹣a)两交点,画出大致图象即可以判断.【解析】如图抛物线y2=(x﹣3)(x﹣a)与x轴交点(3,0),(a,0),抛物线与直线y1=2的交点为(m,2)(n,2)由图象可知m<3<a<n.故选:A.5.(2019秋•汝阳县期中)若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+(m2﹣1)=0的常数项为0,则两个根为( )A.﹣1,0B.﹣1,1C.﹣1,﹣1D.0,1【分析】根据一元二次方程的定义和项的定义得出m﹣1≠0且m2﹣1=0,求出m后代入得出方程,最后求出方程的解即可.【解析】∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+(m2﹣1)=0的常数项为0,第13页/共13页
∴m﹣1≠0且m2﹣1=0,解得:m=﹣1,方程为﹣2x2+2x=0,解得:x=0或1,故选:D.6.(2019秋•丰南区期中)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣1=0总有实数根,则m的取值范围( )A.m≤5且m≠1B.m≥﹣3且m≠1C.m≥﹣3D.m>﹣3且m≠1【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m+1≠0且△≥0,即16﹣4(m+1)×(﹣1)≥0,然后解两个不等式即可得到m的取值范围.【解析】∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣1=0总有实数根,∴m﹣1≠0且△≥0,即16﹣4(m+1)×(﹣1)≥0,解得m≥﹣3.∴m的取值范围为m≥﹣3且m≠1.故选:B.7.(2019秋•曲靖期末)菱形ABCD的一条对角线长为6cm,边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长等于( )A.10cmB.12cmC.16cmD.12cm或16cm【分析】先求出方程的解,再根据三角形的三边关系定理判断,最后求出周长即可.【解析】解方程x2﹣7x+12=0得:x=3或4,即AB=3或4,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=DC=BC,当AD=DC=3cm,AC=6cm时,3+3=6,不符合三角形三边关系定理,此时不行;第13页/共13页
当AD=DC=4cm,AC=6cm时,符合三角形三边关系定理,即此时菱形ABCD的周长是4×4=16,故选:C.8.(2019春•西湖区校级期中)如果ax2-2x+a9=(3x-13)2+m,那么a,m的值分别为( )A.3,0B.9,89C.9,13D.89,9【分析】由(3x-13)2+m=9x2﹣2x+19+m可知a=9,m=89【解析】由ax2-2x+a9=(3x-13)2+m=9x2﹣2x+19+m得:a=9,19+m=1所以:m=89故选:B.9.(2019秋•麻城市校级期中)已知α,β是方程x2+2017x+1=0的两个根,则(1+2019α+α2)(1+2019β+β2)的值为( )A.1B.2C.3D.4【分析】由α、β是方程x2+2017x+1=0的两个根,可得α2+2017α+1=0,β2+2017β+1=0,α+β=﹣2017,αβ=1,在将(1+2019α+α2)(1+2019β+β2)进行适当的变形,即可求出结果.【解析】∵α,β是方程x2+2017x+1=0的两个根,∴α2+2017α+1=0,β2+2017β+1=0,α+β=﹣2017,αβ=1,∴(1+2019α+α2)(1+2019β+β2)=(1+2017α+α2+2α)(1+2017β+β2+2β)=4αβ=4,故选:D.10.(2019秋•京山市期中)一元二次方程M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中ac≠0,a≠c,以下四个结论:①若方程M有两个不相等的实数根,则方程N也有两个不相等的实数根;②若方程M有两根符号相同,则方程N的两根符号也相同;第13页/共13页
③若m是方程M的一个根,则1m是方程N的一个根;④若方程M和方程N有一个相同的根,则这个根必是x=1.正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据根的判别式对①进行判断;利用根与系数的关系对②进行判断;利用一元二次方程根的定义由m是方程M的一个根得到am2+bm+c=0(m≠0),变形得到c•1m1+b•1m+a=0,则可对③进行判断;设方程M和方程N有一个相同的根t,则at2+bt+c=0,N:ct2+bt+a=0,消去b得到(a﹣c)t2=a﹣c,然后求出t可对④进行判断.【解析】∵方程M有两个不相等的实数根,∴△=b2﹣4ac>0,∴方程N也有两个不相等的实数根;所以①正确;∵方程M有两根符号相同(x1、x2为方程的两根),∴x1x2=ca>0,即a、c异号,∵方程N的两根之积为ac>0,∴方程N的两根符号相同;所以②正确;∵m是方程M的一个根,∴am2+bm+c=0(m≠0),∴c•1m1+b•1m+a=0,∴1m是方程N的一个根;所以③正确;设方程M和方程N有一个相同的根t,则at2+bt+c=0,N:ct2+bt+a=0两式相减得(a﹣c)t2=a﹣c,而a≠c,∴t2=1,解得t=±1,即方程M和方程N有一个相同的根为1或﹣1,所以④错误.故选:C.第13页/共13页
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11.(2020春•玄武区期末)用配方法解一元二次方程x2+6x+1=0时,配方后方程可化为: (x+3)2=8 .【分析】移项,配方,再根据完全平方公式进行变形,即可得出答案.【解析】∵x2+6x+1=0,∴x2+6x=﹣1,∴x2+6x+9=﹣1+9,∴(x+3)2=8,故答案为:(x+3)2=8.12.(2020•内江)已知关于x的一元二次方程(m﹣1)2x2+3mx+3=0有一实数根为﹣1,则该方程的另一个实数根为 -13 .【分析】把x=﹣1代入原方程求出m的值,进而确定关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系可求出方程的另一个根.【解析】把x=﹣1代入原方程得,(m﹣1)2﹣3m+3=0,即:m2﹣5m+4=0,解得,m=4,m=1(不合题意舍去),当m=4时,原方程变为:9x2+12x+3=0,即,3x2+4x+1=0,由根与系数的关系得:x1•x2=13,又x1=﹣1,∴x2=-13故答案为:-13.13.(2020•鄂温克族自治旗模拟)一元二次方程3x(x﹣1)=2(x﹣1)的解是 x1=1,x2=23 .【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.【解析】3x(x﹣1)=2(x﹣1),3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)=0,(x﹣1)(3x﹣2)=0,∴x﹣1=0或3x﹣2=0,∴x1=1,x2=23.第13页/共13页
故答案为:x1=1,x2=23.14.(2019秋•鞍山期末)庆“元旦”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,求这次有多少队参加比赛?若设这次有x队参加比赛,则根据题意可列方程为 x(x-1)2=45 .【分析】设这次有x队参加比赛,由于赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),则此次比赛的总场数为:x(x-1)2场.根据题意可知:此次比赛的总场数=45场,依此等量关系列出方程.【解析】设这次有x队参加比赛,则此次比赛的总场数为x(x-1)2场,根据题意列出方程得:x(x-1)2=45,故答案是:x(x-1)2=45.15.(2019秋•勃利县期末)如图,从一块矩形铁片中间截去一个小矩形,使剩下部分四周的宽度都等于x,且小矩形的面积是原来矩形面积的一半,则x的值为 10 .【分析】本题中小长方形的长为(80﹣2x)cm,宽为(60﹣2x)cm,根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程(80﹣2x)(60﹣2x)=12×80×60,解方程从而求解.【解析】因为小长方形的长为(80﹣2x)cm,宽为(60﹣2x)cm,则其面积为(80﹣2x)(60﹣2x)cm2根据题意得:(80﹣2x)(60﹣2x)=12×80×60整理得:x2﹣70x+600=0解之得:x1=10,x2=60因x=60不合题意,应舍去所以x=10.故答案是:10.16.(2020•利津县一模)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根,则该三角形的周长是 7 .【分析】先利用因式分解法解x2﹣4x+3=0得到x1=3,x2=1,然后分类讨论:当三角形的腰为3,底为第13页/共13页
1时,易得三角形的周长;当三角形的腰为1,底为3时不符合三角形三边的关系,舍去.【解析】x2﹣4x+3=0,(x﹣3)(x﹣1)=0,x﹣3=0或x﹣1=0,所以x1=3,x2=1,当三角形的腰为3,底为1时,三角形的周长为3+3+1=7,当三角形的腰为1,底为3时不符合三角形三边的关系,舍去,所以三角形的周长为7.故答案为7.17.(2020春•柯桥区期末)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,若(x﹣1)(mx﹣n)=0是倍根方程,则2nm的值为 4或1 .【分析】首先取得方程(x﹣1)(mx﹣n)=0的两根,再根据“倍根方程”的定义,得出1×2=nm或1=nm×2,进而求得2nm的值为4或1.【解析】解(x﹣1)(mx﹣n)=0得x1=1,x2=nm,∵(x﹣1)(mx﹣n)=0是倍根方程,∴1×2=nm或1=nm×2,∴2nm的值为4或1.故答案为:4或1.18.(2019秋•港南区期末)若a是方程x2﹣3x+1=0的根,计算:a2﹣3a+3aa2+1= 0 .【分析】由方程的解的定义得出a2﹣3a+1=0,即a2﹣3a=﹣1、a2+1=3a,整体代入计算可得.【解析】∵a是方程x2﹣3x+1=0的根,∴a2﹣3a+1=0,则a2﹣3a=﹣1,a2+1=3a,所以原式=﹣1+1=0,故答案为:0.三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)第13页/共13页
19.(2020春•玄武区期末)解一元二次方程:(1)x2+2x﹣1=0;(2)(x﹣3)2=2x﹣6.【分析】(1)移项后配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;(2)移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.【解答】解(1)∵x2+2x﹣1=0,∴x2+2x=1,∴x2+2x+1=1+1,∴(x+1)2=2,∴x+1=±2,∴x1=﹣1+2,x2=﹣1-2;(2)∵(x﹣3)2=2x﹣6,∴(x﹣3)﹣2(x﹣3)=0,∴(x﹣3)(x﹣3﹣2)=0,∴x﹣3=0,x﹣3﹣2=0,∴x1=3,x2=5.20.(2020春•浦东新区期末)解关于y的方程:by2﹣1=y2+2.【分析】把b看做常数根据解方程的步骤:先移项,再合并同类项,系数化为1,即可得出答案.【解析】移项得:by2﹣y2=2+1,合并同类项得:(b﹣1)y2=3,当b=1时,原方程无解;当b>1时,原方程的解为y=±3b-3b-1;当b<1时,原方程无实数解.21.(2020•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+12k2﹣2=0.(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1﹣x2=3,求k的值.【分析】(1)根据根的判别式得出△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(12k2﹣2)=2(k+1)2+7>0第13页/共13页
,据此可得答案;(2)先根据根与系数的关系得出x1+x2=2k+1,x1x2=12k2﹣2,由x1﹣x2=3知(x1﹣x2)2=9,即(x1+x2)2﹣4x1x2=9,从而列出关于k的方程,解之可得答案.【解析】(1)∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(12k2﹣2)=4k2+4k+1﹣2k2+8=2k2+4k+9=2(k+1)2+7>0,∵无论k为何实数,2(k+1)2≥0,∴2(k+1)2+7>0,∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2)由根与系数的关系得出x1+x2=2k+1,x1x2=12k2﹣2,∵x1﹣x2=3,∴(x1﹣x2)2=9,∴(x1+x2)2﹣4x1x2=9,∴(2k+1)2﹣4×(12k2﹣2)=9,化简得k2+2k=0,解得k=0或k=﹣2.22.(2020•广东)已知关于x,y的方程组ax+23y=-103,x+y=4与x-y=2,x+by=15的解相同.(1)求a,b的值;(2)若一个三角形的一条边的长为26,另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解.试判断该三角形的形状,并说明理由.【分析】(1)关于x,y的方程组ax+23y=-103,x+y=4与x-y=2,x+by=15的解相同.实际就是方程组x+y=4x-y=2的解,可求出方程组的解,进而确定a、b的值;(2)将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b=0,求出方程的解,再根据方程的两个解与26为边长,判断三角形的形状.第13页/共13页
【解析】(1)由题意得,关于x,y的方程组的相同解,就是方程组x+y=4x-y=2的解,解得,x=3y=1,代入原方程组得,a=﹣43,b=12;(2)当a=﹣43,b=12时,关于x的方程x2+ax+b=0就变为x2﹣43x+12=0,解得,x1=x2=23,又∵(23)2+(23)2=(26)2,∴以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形.23.(2020春•成都期末)(1)已知:a(a+1)﹣(a2+b)=3,a(a+b)+b(b﹣a)=13,求代数式ab的值.(2)已知等腰△ABC的两边分别为a、b,且a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58=0,求△ABC的周长.【分析】(1)首先将已知条件化简,进而得出a2﹣2ab+b2=9①,a2+b2=13②,把②代入①可得结论;(2)首先利用勾股定理得出AC的长,进而得出AC和AB的长,即可得出BB′的长.【解析】(1)a(a+1)﹣(a2+b)=3,a2+a﹣a2﹣b=3,a﹣b=3,两边同时平方得:a2﹣2ab+b2=9①,a(a+b)+b(b﹣a)=13,a2+ab+b2﹣ab=13,a2+b2=13②,把②代入①得:13﹣2ab=9,13﹣9=2ab,∴ab=2;(2)a2+b2﹣6a﹣14b+58=0,a2﹣6a+9+b2﹣14b+49=0,(a﹣3)2+(b﹣7)2=0,∴a﹣3=0,b﹣7=0,∴a=3,b=7,当3为腰时,三边为3,3,7,因为3+3<7,不能构成三角形,此种情况不成立,当7为腰时,三边为7,7,3,能构成三角形,此时△ABC的周长=7+7+3=17.第13页/共13页
24.(2020春•哈尔滨期末)如图,在长为50米,宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路,余下部分种植草坪,草坪总面积为1392平方米.(1)求道路宽多少米;(2)现需要A、B两种类型的步道砖,A种类型的步道砖每平方米原价300元,现打八折出售,B种类型的步道板每平方米价格是200元,若铺路费用不高于23600元,(不考虑步道砖损失的情况下)最多选A种类型步道砖多少平方米?【分析】(1)设道路宽x米,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果.(2)设选A种类型步道砖y平方米,根据铺路费用不高于23600元,列出不等式求解即可.【解析】(1)设道路宽x米,根据题意得:(50﹣2x)(30﹣x)=1392,整理得:x2﹣55x+54=0,解得:x=1或x=54(不合题意,舍去),故道路宽1米.(2)设选A种类型步道砖y平方米,根据题意得:300×0.8y+200×[50×1+(30﹣1)×1×2﹣y]≤23600,解得:y≤50.故最多选A种类型步道砖50平方米.25.(2020春•镇海区期末)自2020年年初以来,全国多地猪肉价格连续上涨,引起了民众与政府的高度关注,政府向市场投入储备猪肉进行了价格平抑.据统计:某超市2020年1月10日这天猪肉售价为每千克56元,比去年同一天上涨了40%.(1)求2019年1月10日,该超市猪肉的售价为每千克多少元?(2)现在某超市以每千克46元的价格购进猪肉,按2020年1月10日价格出售,平均一天能销售100千克.为促进消费,超市决定对这批猪肉进行降价销售,经调查表明:猪肉的售价每千克下降1元,平均每日销售量就增加18千克.为了实现平均每天有950元的销售利润,超市应将每千克猪肉定为多少元?【分析】(1)设该超市猪肉的价格为每千克x元,根据“比去年同一天上涨了40%,这天该超市猪肉售价为每千克56元”列方程求解可得;第13页/共13页
(2)设每千克猪肉降价y元,根据“平均每天有950元的销售利润”列出方程求解可得.【解析】(1)设该超市猪肉的价格为每千克x元,根据题意得:(1+40%)x=56,解得x=40,答:该超市猪肉的价格为每千克40元;(2)设每千克猪肉降价y元,根据题意得:(56﹣46﹣y)(100+18y)=950,解得y1=5,y2=-59(舍去),则56﹣y=56﹣5=51.答:每千克猪肉应该定价为51元.第13页/共13页
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