中考第一轮复习等腰三角形专题训练

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中考第一轮复习等腰三角形专题训练

2023-08-25 00:12:01
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资料简介

第15讲　等腰三角形 考纲要求 命题趋势 ‎1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．‎ ‎2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．‎ ‎3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．‎ ‎4．掌握角平分线的性质及判定.‎ ‎　　等腰三角形的概念、性质、判定是中考的重点内容，在选择题、填空题、解答题中均有出现；等边三角形、线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.‎ 知识梳理 一、等腰三角形 ‎1．等腰三角形的有关概念及分类 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底______的等腰三角形和______三角形．‎ ‎2．等腰三角形的性质 ‎(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形．‎ ‎3．等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)．‎ 二、等边三角形的性质与判定 ‎1．等边三角形的性质 ‎(1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________．‎ ‎2．等边三角形的判定 ‎(1)________相等的三角形是等边三角形；(2)________相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形．‎ 三、线段的垂直平分线 ‎1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________．‎ ‎2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．‎ ‎3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合．‎ 四、角的平分线 ‎1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________．‎ ‎2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．‎ 自主测试 ‎1．等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，那么，它的底边长为__________．‎ ‎2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是__________．‎ ‎3．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．‎ ‎4．等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为(　　)‎ A．8 B．‎10　‎　　　　C．8或10 D．不能确定 考点一、等腰三角形的性质与判定 ‎【例1】已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.‎ ‎(1)如图甲，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；‎ 解：(1)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，‎ ‎∴Rt△OEB≌Rt△OFC，‎ ‎∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.‎ ‎(2)证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE＝OF.‎ 在Rt△OEB和Rt△OFC中， OE＝OF，OB＝OC，‎ ‎∴Rt△OEB≌Rt△OFC.∴∠OBE＝∠OCF.‎ 又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.‎ ‎(3)不一定成立．‎ 当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC ‎，如示例图．‎ 方法总结 1．要证明一个三角形为等腰三角形，须证明这个三角形的两条边相等或两个角相等，两种方法往往都需要证明三角形全等．‎ ‎2．若三角形中出现了高线、中线或角平分线，有时可以延长某些线段，构造出等腰三角形，然后用“三线合一”性质去处理．‎ 触类旁通1 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.‎ 求证：(1)BC＝AD；‎ ‎(2)△OAB是等腰三角形．‎ 考点二、等边三角形的性质与判定 ‎【例2】(1)如图甲，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．‎ ‎(2)如图乙，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)，求∠AEB的大小．‎ 分析：‎ 解决等边三角形问题时，要充分利用等边三... 查看更多