资料简介
<br />第二部分 专题七 <br />类型1 探究线段数量关系及最值的存在性 <br /> <br />1．(2018·湘潭改编)如图，点P为抛物线y＝x2上一动点． <br />(1)若抛物线y＝x2是由抛物线y＝(x＋2)2－1通过平移得到的，请写出平移的过程； <br />(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M. <br />①如图1，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由． <br />②如图2，若点Q的坐标为(1,5)，求QP＋PF的最小值． <br /> <br />第1题图 <br />解：(1) 抛物线y＝(x＋2)2－1的顶点坐标为(－2，－1)， <br />∴抛物线y＝(x＋2)2－1向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y＝x2. <br /> <br />第1题答图 <br />(2)①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．如答图，过点P作PB⊥y轴于点B. <br />设点P的坐标为(a，a2)， <br />∴PM＝PF＝a2＋1. <br /> PB＝a，∴在Rt△PBF中，BF＝＝＝a2－1，∴OF＝1， <br />∴点F坐标为(0,1)． <br />②由①知PM＝PF, QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值，当Q，P，M三点共线时，QP＋PM有最小值为6.∴QP＋PF的最小值为6. <br />2．(2018·宜宾)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)，如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1. <br />(1)求抛物线的解析式； <br />(2)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． <br /> <br />第2题图 <br />(3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标． <br />解：(1) 抛物线的顶点坐标为(2,0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2. <br /> 该抛物线经过点(4,1)， <br />∴1＝4a，解得a＝， <br />∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2＝x2－x＋1. <br />(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得解得 <br />∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4,1)． <br />如答图， <br /> <br />第2题答图 <br />作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值． <br /> 点B(4,1)，直线l为y＝－1， <br />∴点B′的坐标为(4，－3)． <br />设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， <br />将A(1，)，B′(4，－3)分别代入y＝kx＋b，得解得 <br />∴直线AB′的解析式为y＝－x＋. <br />当y＝－1时，有－x＋＝－1， <br />解得x＝，∴点P的坐标为(，－1)． <br />(3) 点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， <br />∴(m－x0)2＋(n－y0)2＝(n＋1)2， <br />∴m2－2x0m＋x－2y0n＋y＝2n＋1. <br /> M(m，n)为抛物线上一动点， <br />∴n＝m2－m＋1， <br />∴m2－2x0m＋x－2y0(m2－m＋1)＋y＝ <br />2(m2－m＋1)＋1，整理得(1－－y0)m2＋(2－2x0＋2y0)m＋x＋y－2y0－3＝0. <br /> m为任意值，∴ <br />解得 <br />∴定点F的坐标为(2,1)． <br />3．(2018·烟台)如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－4,0)，B(1,0)两点，过点B的直线y＝kx＋分别与y轴及抛物线交于点C，D. <br />(1)求直线和抛物线的表达式； <br />(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值； <br />(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM＋MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． <br /> <br />第3题图 <br />解：(1)把A(－4,0)，B(1,0)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得解得 <br />∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－. <br /> 直线y＝kx＋过点B， <br />∴将B(1,0)代入，得k＝－， <br />∴直线的表达式为y＝－x＋. <br />(2)由 <br />得交点D的坐标为(－5,4)．如答图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F. <br />当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形， <br />则△DEP1∽△P1OC， <br />∴＝，即＝，解得t＝； <br />当P2D⊥DC时，△P2DC为直角三角形， <br />由△P2DB∽△DEB得＝，即＝， <br />解得t＝； <br />当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3， <br />∴＝，即＝，解得t＝.∴当t的值为或或时，△PDC为直角三角形． <br />(3)存在．由已知得直线EF的解析式为y＝－x－.如答图2，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M，过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM＋MN＝D′N最小． <br />则D′(2,4)，△EOF∽△NHD′.设点N的坐标为 <br />(a，－a－)，∴＝，即＝， <br />解得a＝－2，则点N的坐标为(－2，－2)， <br />求得直线ND′的解析式为...
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