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高中数学人教A版选修2-2教案:2.2.2 间接证明

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www.ks5u.com教学目标:1.结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法;2.了解反证法的思考过程、特点.教学重点:反证法的思考过程、特点.教学难点:反证法的思考过程、特点.教学过程:一、预习1.问题:如图,四边形ABCD是平行四边形求证:AB=CD,BC=DA.ABCD在《数学2(必修)》第三章中,如何证明“在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与A1C是异面直线”的?2.初中平面几何中有一个命题:“过在同一直线上的三点A,B,C不能作圆”.如何证明?3.,定义:从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立,这样的证明方法叫反证法.即:欲证p则q,证:p且非q(反证法).反证法的步骤:(1)______________________________________________________;(2)______________________________________________________;(3)______________________________________________________;反证法:(1)反设(即假设)p则q(原命题)反设p且非q.(2)可能出现三种情况:①导出非p为真——与题设矛盾.②导出q为真——与反设中“非q”矛盾.③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾.反设是反证法的基础,归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.二、例题精讲例1 求证:正弦函数没有比2π小的正周期.证明 假设T是正弦函数的周期,则对任意实数x都有:.令x=0,得即T=kπ,k∈Z,又0<T<2π,故T=π,从而对任意实数x都有,这与≠矛盾.所以正弦函数没有比2π小的周期.例2 证明不是有理数.(课本例2).例3 设,求证.证明 假设,则有,从而a3>8-12b+6b2-b3,a3+b3>6b2-12b+8=6(b-1)2+2,因为 6(b-1)2+2≥2,所以 a3+b3>2,这与题设条件a3+b3=2矛盾,所以,原不等式成立.,注意:注意一 “否定所证结论”是反证法的第一步,它的正确与否直接影响能否正确使用反证法.否定结论的步骤是:①弄清结论本身的情况;②找出结论的全部相反情况;③正确地否定上述结论.注意二 反证法中引出矛盾的结论,不是推理本身的错误,而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.注意三 在反证法证题的过程中,经常画出某些不正确的图形,甚至是不可能存在的图形,这样做的目的,是为了能清楚地说明问题.在证明过程中,每一步推理所得结论的正确性,应完全由它所依据的理由来保证,而不能借助图形的直观性,这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的.注意四 用反证法证明命题时,若原命题结论的反面不惟一,这时要把每种可能一一否定,不要遗漏.三、巩固练习1.课本86页的练习(1,2,3,4,5).2.用反证法证明“如果,那么”,假设的内容是______________.3.用反证法证明:“a>b”.应假设(a≤b).4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是(假设至少有两个钝角).5.有关反证法中假设的作用,下面说法正确的是().A.由已知出发推出与假设矛盾B.由假设出发推出与已知矛盾C.由已知和假设出发推出矛盾D.以上说法都不对四、回顾小结  1.反证法的步骤:①否定结论;②推理论证;③导出矛盾;④肯定结论.2.反证法适用于证明“存在性,惟一性,至少有一个,至多有一个”等字样的一些数学问题.五、作业课本P87第8,9,10题. 查看更多

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