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人教版数学八年级上册14.3.1提公因式法导入新知我们知道，利用整式的乘法运算，可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，能不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若能，这种变形叫做什么呢？素养目标3.会利用因式分解进行简便计算.2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.探究新知知识点1因式分解的概念如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？abc方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm整式乘法m(a+b+c)=ma+mb+mc?探究新知1.运用整式乘法法则或公式填空：(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc；(2)(x+1)(x–1)=x2–1；(3)(a+b)2=a2+2ab+b2.都比是一多比项，式这化些为式几子个有整什式么的共积同的点形？式2.根据等式的性质填空：(1)ma+mb+mc=(m)a(+b+c)(2)x2–1=(x+1)(x–1)(3)a2+2ab+b2=(a+b)2探究新知把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.探究新知想一想整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即因式分解x2–1(x+1)(x–1)整式乘法x2–1=(x+1)(x–1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积探究新知素养考点1因式分解变形的识别例下列从左到右的变形中是因式分解的有(B)①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．巩固练习在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有③⑥.不是因式分解的，请说明原因.①am+bm+c=m(a+b)+c最后不是积的运算②24x2y=3x·8xy因式分解的对象是多项式③x2–1=(x+1)(x–1)④(2x+1)2=4x2+4x+1是整式乘法1⑤x2+x=x2(1+)每个因式必须是整式x⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z)探究新知知识点2用提公因式法分解因式问题1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？pa+pb+pcx2＋x相同因式p相同因式x多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.探究新知pa+pb+pc=p(a+b+c)一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.探究新知问题2：如何确定一个多项式的公因式？找出3x2–6xy的公因式.3x1指数：相同字母系数：最字母：相同的最低次数.大公约数.的字母.所以这个算式的公因式是3x.探究新知归纳总结u找出多项式的公因式的正确步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.探究新知找一找:下列各多项式的公因式是什么？(1)3x+6y3(2)ab–2aca2(3)a2–a3a(4)4(m+n)2+2(m+n)2(m+n)(5)9m2n–6mn3mn(6)–6x2y–8xy2–2xy探究新知素养考点1利用提公因式法分解因式例1把下列各式分解因式.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是(1)8a3b2+12ab3c；一个多项式的形式.(2)2a(b+c)–3(b+c).分析：提公因式法步骤(分两步)第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.探究新知解：(1)8a3b2+12ab3c如果提出公因式4ab，另一个因式=4ab2·2a2+4ab2·3bc是否还有公因式？=4ab2(2a2+3bc)；另一个因式将是2a2b+3b2c，它还有公因式是b.(2)2a(b+c)–3(b+c)=(b+c)(2a–3).如何检查因式分解是否做整式乘法运算.正确？巩固练习因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)–3(b＋c)；(3)(a＋b)(a–b)–a–b.解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；(2)原式＝(2a–3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a–b–1)．巩固练习小明的解法有误吗？把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2.正解：原式=6xy(2x+3y).注意：公因式要提尽.巩固练习小亮的解法有误吗？把3x2–6xy+x分解因式.解：原式=x(3x–6y).错误当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.正解：原式=3x·x–6y·x+1·x=x(3x–6y+1)注意：某项提出莫漏1.巩固练习小华的解法有误吗？把–x2+xy–xz分解因式.提出负号时括号解：原式=–x(x+y–z).里的项没变号.错误正解：原式=–(x2–xy+xz)=–x(x–y+z)注意：首项有负常提负.探究新知归纳总结提取公因式分解因式的技巧：①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；⑤检查因式分解的结果是否正确，可用整式的乘法验证.探究新知素养考点2利用因式分解进行简便运算例2计算：(1)39×37–13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.解：(1)原式＝3×13×37–13×91方法总结：在计算求＝13×(3×37–91)值时，若式子各项都＝13×20＝260；含有公因式，用提取(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)公因式的方法可使运＝2016.算简便．巩固练习简便计算.117(1)259×+259×+259×3515117解：原式=259×（++）3515=259�(2)992＋99(3)13.8×0.125+86.2×�解：原式=99×99+99解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125=99×(99+1)=0.125×(13.8+86.2)=0.125×100=9900=12.5探究新知素养考点3利用因式分解求整式的值例3已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.巩固练习已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值.解:a2b+ab2=ab(a+b)=3×5=15连接中考1.分解因式：a2–5a=_a_(_a_–_5_)___．2.若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=4．解析：∵a+b=4，ab=1，∴a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．课堂检测基础巩固题1.多项式15m3n2+5m2n–20m2n3的公因式是(C)A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn22.把多项式(x+2)(x–2)+(x–2)提取公因式(x–2)后，余下的部分是(D)A．x+1B．2xC．x+2D．x+33.下列多项式的分解因式，正确的是(B)A．12xyz–9x2y2=3xyz(4–3xyz)B．3a2y–3ay+6y=3y(a2–a+2)C．–x2+xy–xz=–x(x2+y–z)D．a2b+5ab–b=b(a2+5a)课堂检测4.把下列各式分解因式：(1)分解因式：m2–3m=m(m–3)．(2)12xyz–9x2y2=_3__x_y_(4__z_–_3_x_y_)_；(3)因式分解：(x+2)x–x–2=__(_x_+_2_)_(_x_–_1_)．(4)–x3y3–x2y2–xy=__–_x_y_(_x_2_y_2_+_x_y_+_1_)；(5)(x–y)2+y(y–x)=_(y_–_x_)_(2_y_–_x_)____.5.若9a2(x–y)2–3a(y–x)3＝M·(3a＋x–y)，则M等于3a(x–y)2_____________.课堂检测6.简便计算：(1)1.992+1.99×0.01;(2)20132+2013–20142;(3)(–2)101+(–2)100.解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98；(2)原式=2013×(2013+1)–20142=2013×2014–20142=2014×(2013–2014)=–2014．(3)原式=(–2)100×(–2+1)=2100×(–1)=–2100.课堂检测能力提升题(1)已知:2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.1(2)化简求值：(2x+1)2–(2x+1)(2x–1)，其中x=.2解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)–(2x–1)]=(2x+1)(2x+1–2x+1)=2(2x+1).1当x=时，21原式=2×(2×+1)=4.2课堂检测拓广探索题△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab–c–2bc＝0，(a–c)＋2b(a–c)＝0，(a–c)(1＋2b)＝0，∴a–c＝0或1＋2b＝0，即a＝c或b＝–0.5(舍去)，∴△ABC是等腰三角形．课堂小结am+bm+mc=m(a+b+c)定义确定公因式的方法：三定，即提公因定系数；定字母；定指数式法分方法解因式第一步找公因式；第二步提公因式1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；注意3.不要漏项；4.提负号，要注意变号课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!
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