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人教版数学八年级上册11.2.1三角形的内角(第1课时)导入新知一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.不对，我有一我的形状最个钝角，所以大，那我的我的内角和才内角和最大.是最大的.我的形状最小，那我的内角和最小.素养目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.探究新知知识点三角形的内角和我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？折叠探究新知剪拼A12BC探究新知测量600锐角三角形480720600＋480＋720＝1800探究新知三角形的内角和定理的证明在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.还有其他的拼接方法吗？三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？探究新知三角形三个内角的和等于180°.已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证法1：过点A作l∥BC，∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)l∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)12∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.探究新知证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，AE∴∠A+∠B+∠ACB=180°.12BCD探究新知证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，同学们还有其他的方法吗？A∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)EF∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，BDC∴∠A+∠B+∠C=180°.探究新知【思考】多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？lAEA12EF12BCDBDC借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.探究新知AHAPQFE13E421423DDFCCBGBGH试一试同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.探究新知u作辅助线为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.u思路总结为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.探究新知素养考点1利用三角形的内角和定理求角的度数例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得1C∠BAD=∠BAC=20°.2D在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BADAB=180°–75°–20°=85°.探究新知变式题如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，1∴∠BCD＝∠ACB＝30°.2∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B–∠BCD=80°.巩固练习在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(D)A．30°B．40°C．50°D．60°如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)＝130°.巩固练习如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(C)A．45°B．54°C．40°D．50°探究新知例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.巩固练习直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝__4_0_°____．l1l2探究新知归纳总结基本图4形3由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.探究新知素养考点2方程的思想与三角形内角和定理的综合应用例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B度数为x，则∠A度数方法点拨：三角形中为3x，∠C度数为(x＋15)，从求角的度数问题，当角之间存在数量关系而有3x＋x＋(x＋15)＝180.时，一般根据三角形解得x＝33.内角和为180°，列方程求解.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.探究新知11变式题在△ABC中，∠A＝2∠B＝3∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．比例关系可考虑用方程思想求角度.分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．探究新知11解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，23设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，1∴∠ACE＝×90°＝45°，2∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.巩固练习完成下列各题.①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=102.②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是°__直__角_____三角形.解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°.③在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠A+10°，则∠A=60，∠B=50，∠C7=0.°°°探究新知素养考点3利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）例4如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、北ED北CB两岛的视角∠ACB是多少度？...BA东探究新知解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°–∠BAD=180°–80°=100°，北E∠ABC=∠ABE–∠EBC=100°–40°=60°D.北C.在△ABC中，.∠ACB=180°–∠ABC–∠CAB.BA东=180°–60°–30°=90°，答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.巩固练习如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？巩固练习解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，∴∠ABD＝60°.又∵∠DBE＝90°，∴∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°.∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，∴∠ACE＝90°–40°＝50°.∴∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°.即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.连接中考如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（C）A．44°B．40°C．39°D．38°解析：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°–54°–48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，�∴∠DCB=×78°=39°，�∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°．课堂检测基础巩固题1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=50课堂检测2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=100°．3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=__2_8_0__°_____.CD41（2340°AEB课堂检测能力提升题1.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C）=180°–（78°+60°）=42°．课堂检测2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°–∠B–∠C=60°.∵AD平分∠BAC，1∴∠CAD=∠BAC=30°，2∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.课堂检测拓广探索题如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，1∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．2∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°–60°=120°．课堂检测【思考】你能直接写出∠BPC与∠A之间的数量关系吗？解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，1∴∠PBC+∠PCB=2（∠ABC+∠ACB）．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，1∴∠BPC=180°–（∠ABC+∠ACB）211=180°–（180°–∠A）=90°+∠A．22课堂小结辅助线转化为一个平角三角形的内角证法或同旁内角互补和等于180°应用求角度课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!
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