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人教版数学八年级上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线导入新知定义图示当两条直线相交所成的四个角中，有一个复垂线角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线习回线段中点把一条线段分成两条相等的线段的点AB顾B角平一条射线把一个角分成两个相等的角，这分线条射线叫做这个角的平分线OA导入新知555444333你还记得“过一点画已知直222111线的垂线”吗?000放、靠、过、画.050435204135024130210101101101222333444555666想一想过三角形的一个顶点，你能777888999画出它的对边的垂线吗?素养目标3.提高学生动手操作及解决问题的能力.2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点.1.了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.探究新知知识点1三角形高的概念过三角形的一个顶点，你能画出它的对边A的垂线吗?BC探究新知5三角形的高的定义4321从三角形的一个顶点，向它的对边A0所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.54321001012如右图，线段AD是BC边上的高B3DC45.67几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直89BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°.探究新知画一画你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.探究新知锐角三角形的三条高(1)你能画出这个三角形的三条高吗?如图所示；(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O锐角三角形的三条高交于同一点；(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高都在三角形的内部.探究新知直角三角形的三条高(1)画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？A(2)AC边上的高是BD;直角边BC边上的高是AB;D直角边AB边上的高是BC;BC直角三角形的三条高交于直角顶点.探究新知钝角三角形的三条高(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？(2)AC边上的高呢？BFAFAB边上呢？CECDBBC边上呢？ADE探究新知(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点；(4)它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.探究新知三角形的三条高的特性：锐角三角形直角三角形钝角三角形高在三角形内部的数量31高之间是否相交相交不相交高所在的直线是否相交相交相交相交三条高所在直线的三角形三角形交点的位置内部直角顶点外部三角形的三条高所在直线交于一点.探究新知素养考点1识别三角形的高例1作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(D)方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段.巩固练习在下图中，正确画出△ABC中边BC上高的是(C)AADABBBCCDAACDDCBDCB探究新知素养考点2利用三角形的高求值例2如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的24最小值为__5__．解析：当BP⊥AC时，BP的值最小.11∵S△ABC=2BC·AD，S△ABC=2AC·BP，11∴2BC·AD=2AC·BP∴BC·AD=AC·BP2424∴6×4=5BP，BP=所以BP的最小值为55方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．巩固练习如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度.解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.(2)设AB边上的高为x，11∵S△ABC=2BC·AE=2AB·x∴BC·AE=AB·x，8×3=6x解得x=4.探究新知知识点2三角形中线的概念我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？探究新知三角形的中线的定义在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线．如图，点D是BC的中点，则线段AD是△ABC的中线，1几何语言：BD=DC=BC．2探究新知如上页图，画出△ABC的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？探究新知画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.探究新知归纳总结1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角形的中线.2.三角形的重心：三角形三条中线的交点.3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部.4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则S△ABD=S△ACD.5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长–△ACD的周长=AB–AC.探究新知素养考点3利用三角形的中线求线段的值例如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为(A)A.19cmB.22cmC.25cmD.31cm解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB–AC.∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，∴△ACD的周长为25–6=19(cm).巩固练习如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线．2EA(1)AC=AE，AE=_____；CBDCD=；1EFAF=2AB；(2)若S=12cm2，G△ABC则S△ABD=6cm²．CDB(3)若AB=4，AC=3，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是1___.探究新知知识点3三角形的角平分线在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?探究新知A用量角器画最简便，用圆规也能.在一张纸上画出一个三BC角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的∠A的平分线.探究新知三角形的角平分线的定义A在三角形中，一个内角的平12分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形BDC的角平分线.1几何语言：∠1=∠2=∠BAC2“三角形的角平分线”是一条线段.探究新知做一做每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?探究新知三角形角平分线的性质三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.探究新知素养考点4利用三角形的角平分线求角的度数例如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，A∴∠DAC＝∠BAD＝34°.在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°–∠B–∠BADBDC＝180°–36°–34°＝110°.巩固练习如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则：∠1=∠2；A12121E∠3=∠ABC；F23344BC∠ACB=2∠4.D探究新知三角形的概念图形表示法数量及交点位置重要线段从三角形的一个顶3条高，锐角三角点向它的对边所在∵AD是△ABC的高线.形：形内；钝角三角形的直线作垂线，顶∴AD⊥BC，三角形：形外；的高线点和垂足之间的线∠ADB=∠ADC=90°.直角三角形：直段角顶点三角形中，连结一∵AD是△ABC的BC上三角形个顶点和它对边中的中线.3条，交点叫作三的中线1角形的重心.形内的线段∴BD=CD=BC.2三角形一个内角的∵AD是△ABC的三角形的平分线与它的对边∠BAC的平分线3条，形内.角平分线相交，这个角顶点1∴∠1=∠2=∠BAC与交点之间的线段2连接中考1.如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是(B)A．线段DEB．线段BEC．线段EFD．线段FG连接中考2.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=(A)A．75°B．80°C．85°D．90°解析：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°–25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°–∠ABC–∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.课堂检测基础巩固题1．下列说法正确的是(B)A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线课堂检测2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是(D)AA．①②B．③④EC．①④D．②③BDC课堂检测3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有(B)A．2条B．3条C．4条D．5条课堂检测4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高(D)CBBCBDADCCAADDABABCD课堂检测5.填空：(1)如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则1AB=2＿AF＿，BD=D＿C＿，AE=2＿A＿C＿.(2)如图②，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，1则∠1=＿∠＿2，∠3=_2_∠__A_B_C___，∠ACB=2∠__4____.图①图②课堂检测能力提升题在ΔABC中，CD是中线，已知BC–AC=5cm，ΔDBC的周长为25cm，求ΔADC的周长.解：∵CD是△ABC的中线，A∴BD＝AD，D∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25–BC.BC∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC＝25–BC＋AC＝25–(BC–AC)＝25–5＝20cm.课堂检测拓广探索题如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.A解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°–(∠ADC+∠CBDEC)=180°–90°–40°=50°.∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°∴∠CAE=41°，，∴∠DAE=∠DAC–∠CAE=50°–41°=9°.课堂小结高钝角三角形两短边上的高的画法会把原三角形面积平分三角形重中线要线段一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线课后作业教材作业从课后习题中选取作业内容自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou!
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