资料简介
13.3.2等边三角形（第1课时）人教版数学八年级上册下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？导入新知素养目标3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．2.探索等边三角形的性质和判定．1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.探究新知知识点1等边三角形的性质小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？10cm6cm10cm10cm10cm10cm等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.探究新知名称图形定义性质判定等腰三角形A有两条边相两腰相等两边相等等的三角形等边对等角等角对等边叫做等腰三三线合一BC角形轴对称图形探究新知CAAB等腰三角形AB=AC∠B=∠CAB=AC∠B=∠CB内角和为180°AC=BC∠A=∠BC等边三角形AB=AC=BC∠A=∠B=∠C=60°探究新知问题1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB=AC=BC，求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.(等边对等角)同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.探究新知BCC结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.三线合一一条对称轴三条对称轴探究新知问题2：等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？AA顶角的平分线、底边的高底边的中线B图形等腰三角形等边三角形性质两条边相等三条边都相等两个底角相等三个角都相等，且都是60º底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合对称轴（1条）对称轴（3条）探究新知归纳总结例1如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°–40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.探究新知等边三角形的性质应用素养考点探究新知解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.方法点拨如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．巩固练习例2△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.探究新知探究新知方法点拨此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.巩固练习如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．求证：△ABE≌△CAD；求∠BFD的度数．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）．解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．图形等腰三角形等边三角形判定从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.探究新知等边三角形的判定知识点2根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是巩固练习例1如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.探究新知等边三角形的判定的应用素养考点本题还有其他证法吗？∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.若点D,E在边AB,AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°．∵DE∥BC，∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED.ADEBC巩固练习变式训练若点D,E在边AB,AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠D，∠C=∠E．∴∠EAD=∠D=∠E．∴△ADE是等边三角形．ADEBC巩固练习变式训练上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACDBE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.巩固练习变式训练例2等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．探究新知探究新知方法点拨判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.如图，等边△ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．巩固练习解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，2∴∠BAD=1∠BAC=30°．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=3_0_°．ACBD连接中考A.4个B.5个C.6个D.7个则这个图形中的等腰三角形共有（D）ADBECO）1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（A．105°B．120°C．135°D2.．如1图50，°等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，B基础巩固题课堂检测3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度D．25°ACBDE数是（B）A．10°B．15°C．20°4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是12cm.课堂检测5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．课堂检测∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A,O,D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°.∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.设OB与EA相交于点F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.CBODAEF能力提升题如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.课堂检测图①图②拓广探索题图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．课堂检测解：(1)AN＝BM.∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.图①课堂检测(2)△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．图②课堂检测等边三角形定义底=腰特殊性性质特殊性边三边相等角三个角都等于60°轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判定三边都相等特殊性三角都相等有一个角是60°的等腰三角形课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou
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