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12.3角的平分线的性质（第2课时）人教版数学八年级上册我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？导入新知3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.1.理解角平分线判定定理.素养目标回顾旧知ODPP到OA的距离PDP到OB的距离PE.P是角平分线上的点ACB几何语言描述：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE.不必再证全等E知识点1角平分线的判定叙述角平分线的性质定理.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究新知PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：猜想:探究新知想一想这个结论正确吗？BADOPE证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP（公共边），PD=PE（已知），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.∴点P在∠AOB的平分线上.探究新知猜想证明已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.PAOBCDE判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等定.理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.探究新知例如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建DCS在何处（比例尺为1︰20000）？解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm，D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.探究新知角平分线的判定的应用素养考点如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OBcm时，点P在3于点D，PC＝3cm，当PD＝3∠AOB的平分线上．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则的平分线的交点．点P是∠ABC的平分线与∠BCD巩固练习发现：三角形的三条角平分线相交于一点.知识点2三角形的内角平分线分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？探究新知分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明这个结论吗？探究新知证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.DEFABCPNM探究新知证明结论已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.DFABCEPNM探究新知想一想点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.MENCOD(1)求点O到△ABC三边的距离和.过点O作ON⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为点N，点E.由题意得，ON+OE+OM=12.BBCAA巩固练习PPENABCPODM巩固练习如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.222解：连接OC.SABCSAOCSBOCSAOB1ABOE1BCON1ABOM21OM(ABBCOM)2143264.1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题ch12s2.联系角平分线性质：距离面积周长条件探究新知归纳总结例如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为()AA．110°B．120°C．130°D．140°解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.212∠BCO＝∠ACO＝1∠ACB探究新知利用三角形的内角平分线的性质求值素养考点探究新知方法点拨由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．角的平分线的性质角的平分线的判定图形CPCP已知条件OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E结论PD=PEOP平分∠AOB探究新知归纳总结到三角形三边距离相等的点是(C)A．三边垂直平分线的交点B．三条高所在直线的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300m，则工厂的位置在哪里？解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上截取BP＝1.5cm，则点P即为所求的工厂的位置巩固练习如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC.连接中考小区CPOBMN课堂检测基础巩固题1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P.A2.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCE((((342P1DF课堂检测E∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.MACFBHD课堂检测能力提升题如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.Gl3l2如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处?画出它的位置.l1拓广探索题课堂检测P1P2P3P4l1l2l3课堂检测角平分线的判定定理内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作用判断一个点是否在角的平分线上结论三角形的角平分线相交于内部一点课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看ThankYou
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